*§12-8  电磁波理论

    为简便起见,大家讨论在无限大各向同性均匀介质中电磁场的运动形式。空间不存在自由电荷和传导电流,即r 0 = 0,j 0 = 0,于是麦克斯韦方程组成为下面的形式

                         .                  (12-73)

大家就从麦克斯韦方程组(12-73)出发,对平面电磁波的特性进行讨论。

    假设平面电磁波沿z轴方向传播,则EB都只是zt的函数,于是麦克斯韦方程组(12-73)可具体地写为

                            ,                          (1)

                               ,                          (2)

                          ,                       (3)-a

                            ,                       (3)-b

                               ,                         (3)-c

                           ,                                                       (4)-a

                             ,                     (4)-b 

                                 .                           (4)-c

由式(1)和式(4)-c,以及式(2)和式(3)-c,可以得到,电磁波中的电场矢量和磁场矢量沿传播方向(即纵向)的分量Ez Bz 是不随时间和空间变化的常量,即不是大家讨论的电磁波,所以可以认为Ez  = 0,Bz  = 0。这样大家就得到了电磁波的第一条性质:电磁波是横波。

    电磁波的横波性质告诉大家,既然电磁波是沿z方向传播的,那么电场矢量和磁场矢量都只能处于xy平面内。可以选择电场矢量沿x方向,所以Ey  = 0。于是,根据式(3)-a和式(4)-b可以得到

                       ,  .

这表示,如果电场矢量沿x方向,则磁场矢量的x分量必定等于零,也就是磁场矢量只能沿y方向。于是大家就得到了电磁波的第二条性质:电磁波的电场矢量E与磁场矢量B是互相垂直的,并与传播方向k满足右螺旋关系。

    至此,上面麦克斯韦方程组的八个式子中,还有两个没用到,这就是式(3)-b和式(4)-a。下面大家就利用这两个式子导出电磁波所满足的波动方程。

    将式(3)-b和式(4)-a 去掉角标后重写如下

                           ,                      (3)-b¢

                           .                     (4)-a¢

将式(3)-b¢z求偏微商,将式(4)-a¢t求偏微商,从所得两式中消去B的项,就可得到

                          .                        (12-74)

将式(3)-b¢t求偏微商,将式(4)-a¢对z求偏微商,从所得两式中消去E 的项,就可得到

                           .                       (12-75)

式(12-74)和式(12-75)分别是电磁波中的电场矢量和磁场矢量所满足的波动方程,与大家在第七章中所见到的波动方程[即式(7-65)]形式上完全相同。

    可以把电磁场变量EB看为沿z方向传播的简谐波,并用复数表示。电场变量E

                  ,                        (12-76)

其中

                          ,                      (12-77)

是电场矢量的复振幅,jE 是其初相位;磁场变量B

                    ,                    (12-78)

其中

                            ,                            (12-79)

是磁场矢量的复振幅,jB 是其初相位。在以上的试探解中,w k分别是角频率和波数,它们与周期T和波长l的关系为

                        ,   .                      (12-80) 

波速可以表示为

                           .                           (12-81)

    将试探解,即式(12-76)和式(12-78),分别代入方程式(12-74)和式(12-75),都会得到一个重要的关系

                           .                     (12-82)

由此关系和式(12-81),可以求得电磁波的传播速度

                         .                      (12-83)

在真空中,e r = 1, m r = 1,所以电磁波的传播速度为

                  = 3.0´108  m×s-1 .           (12-84)

这是大家早已熟悉的结论,现在从麦克韦方程组中得出来了。

    将式(12-76)和式(12-78)代回到式(3)-b¢或式(4)-a¢,可马上得到关于复振幅的恒等式

                             .

上式要成立,必需等号两边的模对应相等,辐角对应相等。于是得到下面两个方程式

                         ,                     (12-85)

                            .                                    (12-86)

图 12-24

式(12-85)表示,电磁波的电场矢量与磁场矢量的振幅成比例;式(12-86)表示,电磁波的电场矢量和磁场矢量的振动是同相位的。这是电磁波的另外两条性质。由这两条性质大家进一步得到,电磁波在传播过程中,波线上任一点的电场矢量与磁场矢量的瞬时值也满足同样的比例关系,即

          .        (12-87)

    根据上面所得结论,大家可以把平面电磁波在无限大均匀介质中的传播特性,表示为图12-24所示的情况。

    至此,大家已经得到了平面电磁波的如下性质:

    (1) 电磁波是横波,电矢量E和磁矢量B都与传播方向相垂直;

    (2) 电矢量E与磁矢量B互相垂直,并与传播方向k满足右螺旋关系;

    (3) 电矢量E和磁矢量B的振动同相位;

    (4) 电矢量E和磁矢量B的振幅成比例,波线上同一点瞬时值之间满足同样的比例;

    (5) 电磁波的传播速度为

                           ,

在真空中为

                          ,

与真空中的光速相同。

       
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