例题12-6 平行板电容器是由两块半径为R的圆形金属板组成,两板间距为d (<<R )。电容器正在被缓慢充电,t时刻极板间的电场强度为E,求此时流入电容器的能流。

图 12-25

    解  因为电容器正在充电,所以极板间的电场强度在随时间增大,极板间电场的能量也在随时间增加。大家不禁要问:此能量是从何处流入电容器的?一般总认为能量是沿导线流入电容器的,下面让大家看一下是不是这样。

    如果充电电流的方向如图12-25所示,那么电容器极板间的电场强度E的方向是由下向上的,如图中电容器极板间的箭头所示,并且在随时间增大。随着充电的进行,电容器极板间有位移电流流过,位移电流密度 的方向也是由下向上的。在电容器内距离中心轴线为r的地方,磁感应强度B应满足下面的关系

                  .

根据问题的对称性,上式容易解出,得

                         ,

所以

                           ,                         (1)

B的方向如图12-25中的“·”和“×”所表示。根据电场和磁场的方向,可以得到电容器内任意一点的能流密度矢量的方向都是指向电容器的中心轴线方向的。所以大家可以断定,能量是从电容器外的空间通过电容器的侧面流进电容器的。

    根据d<<R的条件,电容器的边缘效应可以忽略。电容器侧面处的电场强度为E,由式(1)可以求得电容器侧面处的磁感应强度为

                           .

所以能流密度矢量的大小为

                      .                 (2)

通过侧面流入电容器的能量为

                    ,                 (3)

这就是在t时刻单位时间内流入电容器的能量。

    让大家从另一个角度来验证一下式(3)的正确性。在t时刻电容器极板间的电场强度为E,相应的电容器内的电场能量为

                       .

正在充电,电场强度在增大,电场能量在增加,而能量的增加率为

                 ,              (4)

与式(3)一致。这就确认了, 电容器极板间能量的增加是由于能量从电容器外部空间通过其侧面流入所致。同时也说明了能量不是从导线流入电容器的。

    例题12-7  一激光束的截面半径为1 mm,功率为2.0 GW,垂直照射在一全反射的镜面上。求:(1) 此激光束的电矢量和磁矢量的峰值,(2) 对镜面产生压力的大小。

    解  (1) 因为激光束的功率P等于其能流密度 与光束截面积S的乘积, 所以该激光束的能流密度为

            .

根据 ,可以求得电矢量的峰值,为

     ,

磁矢量的峰值为

                       .

    (2) 因为镜面对激发束是全反射的,所以根据公式(12-108),镜面所受到的光压应表示为

            

                     

对镜面产生的压力的大小为

      .

       
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