§13-4  交流电路的复数解法

    一、交流电简谐量与复数的对应关系

    若把复数 表示为

           ,

显然,简谐量x与这个复数 的实部相对应。于是大家可以说,若要用一个复数代表一个简谐量,则该复数的实部就是这个简谐量本身,或者说,复数的模与简谐量的峰值相对应,复数的辐角与简谐量的相位相对应。若要对多个简谐量进行某种运算, 可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运算, 所得复数的实部就是这些简谐量进行该运算的结果。因为复数的运算比余弦函数的运算要简便得多,所以交流电路的复数解法也是求解交流电路常用的方法,并且是一种重要的方法。

    交流电压u(t) =U0 cos (w t +ju )可以用复数代表,这个复数的模应等于交流电压的峰值U0,这个复数的辐角应等于交流电压的相位(w t +ju),于是可以把这个复数写为

       ,  (13-26)

这个复数称为复电压。由上式可以看到,电压瞬时值就是复电压的实部。同样,代表交流电流i(t) = I0 cos(w t +ji ) 的复数称为复电流,可以表示为

         .      (13-27)

可见,电流的瞬时值就是复电流的实部。

    一段电路或一个元件上的复电压与复电流之比,定义为该段电路或该元件的复阻抗,用 表示可写为

            .       (13-28)

由上式可以得到下面两个重要结论:(1) 引入复阻抗后,复电压、复电流和复阻抗之间出现了类似于欧姆定律的形式,这给运算带来很大方便;(2) 复阻抗的模就是电路或元件的阻抗,复阻抗的辐角就是电压与电流的相位差。可见,复阻抗同时反映了电压与电流的量值关系和相位关系两方面的信息,因而成为求解交流电路的中心问题。

       
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