[概念阐释]

    一、基尔霍夫定律(§13-1)

    1. 基尔霍夫第一定律

    汇集于同一节点的各支路电流的代数和必定为零,即

                           .

关于这个定律,需要指出以下几点。

    (1)  基尔霍夫第一定律实际上是恒定电流条件在电路问题上的表现形式,而恒定电流条件则来源于电荷守恒定律。所以这个定律的正确性是得到充分保证的。

    (2)  电流是代数量,它的正、负应与标定方向相比较而得出。所以为了列出基尔霍夫第一方程组(节点电流方程组),首先应该假设各条支路上的电流及流向,电流用符号表示,电流的流向用箭头表示,并把此电流作为该支路上电流的标定方向。

    若解得某支路的电流为正值,表示该支路电流的实际流向与所假设的标定方向相同;若解得某支路的电流为负值,表示该支路电流的实际流向与所假设的标定方向相反。

    (3)  列节点电流方程式时应注意下面几点:

    a)  从节点流出的电流前写加号,流向节点的电流前写减号。这种加、减号的规定与以前关于闭合曲面的外法线为正法线的规定是相对应的。

    b)  若整个电路有n个节点,只能列出n - 1个独立的节点电流方程式。

    2. 基尔霍夫第二定律

    在一个回路中,电阻上电势降落的代数和必定等于电源电动势的代数和,即

                         .

为便于理解和掌握这个定律,这里需指出以下几点。

    (1)  基尔霍夫第二定律实际上是恒定电场的环路定理在电路问题上的表现形式,恒定电场的环路定理是表示恒定电场是保守场的基本标志,而恒定电场和静电场(这两者统称为库仑场)之所以是保守场,则是由库仑定律决定的。由此可见,基尔霍夫第二定律的正确性也是得到充分保证的。

    (2)  所谓“电势降落”,就是电势的降低。例如,在电场中AB两点的电势差可以表示为

                         ,

如果电场的方向是沿从A点到B点的方向,则上面的积分是大于零的,这表示从AB电势是下降的,大家就说从AB的方向就是电势降落的方向。

可见,电势降落的方向就是恒定电场的方向,在外电路,就是从电源正极到负极的方向,也就是电流的方向。

    (3)  电势降落是代数量,它的正、负也应与标定方向相比较而得出。所以为了列出基尔霍夫第二方程组(回路电压方程组),必须先假设回路电势降落的标定方向,这就是绕行方向。

    (4)  列回路电压方程式时应注意下面几点:

    a)  当绕行方向与某支路上电流的标定方向相同时,该支路上电阻Ri的电势降落IiRi前写加号;当绕行方向与某支路上电流的标定方向相反时,该支路上电阻Ri的电势降落IiRi前写减号。

    b)  当绕行方向与某支路上电源电动势的方向相同时,该电动势e i前写号;当绕行方向与某支路上电源电动势的方向相反时,该电动势e i前写减号。

    c)  若整个电路有m个独立回路,则可以列出m个独立的回路电压方程式。

    (5)  大家上面所写出的基尔霍夫第二方程组的形式,是将电阻上的电势降落和电源的电动势分别写在等号的两边,这样做,一方面与线性代数中的求解方法相对应,另一方面在列方程式时,能够与其他约定相一致,即“当绕行方向与某支路上电源电动势的方向相同时,该电动势e i前写加号当绕行方向与某支路上电源电动势的方向相反时,该电动势e i前写减号。”

    3. 注意几个问题

    (1)  对于有n个节点和p个支路的电路,大家已经知道,可以列出n - 1个独立的节点电流方程式,那么能够列出多少个独立的回路电压方程式呢?

    要确定独立的回路电压方程式的个数,首先应该确定电路中的独立回路的个数。对于平面电路,确定独立回路数目的方法比较简单,即把电路看为一个渔网,具有多少个网孔就具有多少个独立回路。

    对于不能化为平面电路而存在支路互相跨越的复杂电路,确定独立回路数目应使用图论中树图的概念。可以证明,对于有n个节点和p个支路的电路,独立回路的数目为p - n + 1

    (2)  独立方程的数目要与未知量的数目相等,方程组才有惟一解。对于有n个节点和 p个支路的电路,每一个支路假设一个电流,共有 p个未知量,需要列出 p个独立的方程式才能惟一求解。实际上,对于这样的电路可以列出n - 1个独立的节点电流方程式,还可以列出p - n + 1个独立的回路电压方程式,独立的方程式的数目正是 p个。

    (3)  在用基尔霍夫方程组处理具体电路时,可以直接利用基尔霍夫第一定律,尽量减少未知量的数目。在选择独立回路时,可选择回路电压方程式最简单的那些回路。

       
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