四、交流电路的复数解法(§13-4)

    1. 交流电简谐量与复数的对应关系

    (1)  从本质上说,因为一个复数对应于复平面上的一个矢量,而交流电简谐量是可以用一个矢量来代表的,那么交流电简谐量必定可以用一个复数来代表。

    交流电简谐量有三个特征量,如果频率已知,那么还有峰值和相位两个特征量,而这两个特征量正好与一个复数的两个要素,即模和辐角分别相对应。也就是说,如果用一个复数代表某个交流电简谐量,大家所关心的并不是这个复数本身,而是它的模和辐角,因为它们分别是复数所代表的交流简谐量的峰值和相位。

    复数和它所代表的交流电简谐量之间的关系,仍然是“代表”的关系,而绝不是“相等”或“等于”的关系。

    (2)  复电压和复电流:代表电压简谐量(即瞬时电压)

                          

的复数

                          ,

称为复电压;

    代表电流简谐量(即瞬时电流)

                        

的复数

                            ,

称为复电流。

    (3)  复阻抗:加在一个电路或一个元件两端的电压复量与通过其中的电流复量之比,就定义为该电路或该元件的复阻抗,即

                .

由上式可以看到:

    a)  引入复阻抗的概念后,复电压、复电流和复阻抗三者之间的关系可以写成类似于欧姆定律的形式;

    b)  复阻抗包含了反映电路或元件特征的两方面信息,即电压和电流的量值关系(阻抗Z )和相位关系(相位差j ),所以计算电路的复阻抗就成了求解电路的中心问题。

    2. 元件和电路的复阻抗

    (1)  元件的复阻抗

    a)  根据复阻抗的定义式

                            ,

可以求得元件(或电路)的复阻抗。

    电阻R的复阻抗:       

                            ,

    电感L的复阻抗:       

                          .

    电容C的复阻抗:

                     .

    b)  从电阻、电感和电容的复阻抗可以看到,纯电阻提供了复阻抗的实部,而纯电感和纯电容提供了阻抗的虚部。复阻抗的虚部称为电抗,由电感提供的电抗称为感抗,由电容提供的电抗称为容抗。

    由此大家不难推断,一段由电阻、电感或电容组成的电路的复阻抗,一般可表示为

                            .

其中r是复阻抗的电阻部分,X则是复阻抗的电抗部分。

    (2)  电路的复阻抗

    a)  串联电路的复阻抗等于各元件的复阻抗之和,即

                            .

    b)  并联电路的总复阻抗的倒数等于各支路的复阻抗的倒数之和,即

                            .

    3. 交流电路的基尔霍夫方程组及其复数形式

    (1)  要把基尔霍定律应用于交流电路,必须注意基尔霍定律只适用于似恒电流下的交流电路。所谓似恒电流,是频率不太高的交变电流,以至在每一瞬间电路各处的电压和电流在足够好的程度上满足基尔霍夫定律。那么多高的频率属于“不太高”呢?如果从电源到电路最远处的距离为l,电磁波以光速c传播,到达电路最远处的时间为t = l / c,必须远小于交流电的周期T,即

                               ,

由此可得,交流电的频率

                               .

这就是似恒电流的条件。

    (2)  交流电路的基尔霍夫方程组应写为

                              ,

                            .

并要注意以下两点。

    a)  在交流电路中,不仅要像直流电路那样应假设电流和电势降落的标定方向,而且还应假设电源的标定极性;

    b)  在交流电路中,电压、电流,以及电源的电动势都是在随时间变化的,所设定的三套标定方向是指同一瞬间而言的,而这同一瞬间则是任意确定的。

    (3)  基尔霍夫方程组的复数形式可以写为

                             ,

                          .

有了标定方向要列出基尔霍夫方程组的复数形式,必须遵从教材中所指出的三条加、减号约定。

       
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