§14-9  单缝和圆孔的夫琅禾费衍射

    一、单缝的夫琅禾费衍射

                  

              图 14-24

    假如让一束由线状光源产生的单色平行光通过宽度可调的缝隙,射到其后的接收屏上,若缝隙的宽度a足够大,接收屏上将出现亮度均匀的光斑。随着缝隙宽度a变小,光斑的宽度也相应变小。但当缝隙宽度小到一定程度时, 光斑的区域将变大,并且原来亮度均匀的光斑变成了一系列亮暗相间的条纹,如图14-24所示。根据惠更斯-菲涅耳原理,接收屏上的这些亮暗条纹是由于从同一个波前上发出的子波产生干涉的结果。为满足夫琅禾费衍射的条件,必须将衍射屏放置在两个透镜之间,如图14-23(c)所示。图14-24中的照片就是在接收屏上得到的单缝夫琅禾费衍射图样。

    在图14-25中AB表示单缝与纸面的交线,等于单缝的宽度a,单缝的长度与画面垂直。平行光垂直入射,并且入射光的波前就是单缝所在平面。大家把单缝范围内的波前沿单缝宽度方向分割成许多等宽度的窄条。按照惠更斯-菲涅耳原理,这些窄条都是发射子波的波源,它们发射的子波将沿各个方向传播。子波射线与入射方向的夹角j 称为衍射角。衍射角为零的子波射线经过透镜后,会聚在处于焦面的接收屏上的点O(实际上是过点O与单缝平行的直线);衍射角为j 的子波射线经透镜会聚于接收屏上的点P。下面分别讨论点O和点P的干涉情况。

图 14-25

    由各窄条发出的在j = 0方向上的子波射线,若没有透镜将会聚于无限远处,因为它们的光程相等,必定干涉加强,形成亮条纹。放置了透镜后,会聚点由无限远处移到了接收屏上的点O,因为透镜不产生附加的光程差,点O必定处于亮条纹上。这个亮条纹称为中央亮条纹, 其对应的光强为主极大,用I0表示。

图 14-26

    由各窄条发出的衍射角为j 的子波射线会聚于接收屏上的点P处,而点P的光振动振幅决定于这些子波射线到达此处的光程差。大家先来讨论紧靠单缝上边缘A的窄条发出的子波射线与紧靠单缝下边缘B的窄条发出的子波射线,到达点P的光程差D。为此,过单缝上边缘A作子波射线的垂直平面AC(见图14-26 ),单缝上各窄条发出的沿j方向的平行射线到达点P的光程差,应等于它们到达平面AC的光程差。所以

                       D = BC = a sinj                  (14-76)

               图 14-27

处于上、下边缘之间其他窄条发出的子波射线到达点P的光程差,可根据上式按比例推算出来。下面大家用振动的矢量图解法计算点P光振动的振幅和光强。

    靠近上边缘A的窄条发出的子波射线与靠近下边缘B的窄条发出的子波射线,在点P引起的光振动的相位差为

     .  (14-77)

而处于上、下边缘之间的其他窄条在点P引起光振动的相位,可根据上式按比例推算出来。以点A为起点作一系列小矢量,使后一个小矢量的起点与前一个小矢量的终点相重合,并且每个小矢量都转过一个相同的角度,最后到达点B,共转过d角,如图14-27所示。每个小矢量都代表单缝上的一个窄条对P光振动的贡献,图中画了9个小矢量,表示单缝被均分为9个窄条。点P光振动的振幅就是这些小矢量的合矢量AP的长度。图14-27中矢量A0代表接收屏上点O的光振动。因为单缝上各窄条发出的子波射线到达点O的相位相同,所以小矢量连成一条直线。点O光振动的振幅就等于矢量A0的长度。

    如果单缝被分割的窄条数目无限增多,每个窄条的宽度无限缩小, 则AB之间的折线变成为圆弧。设圆弧AB的圆心为C,半径为R,由图14-27中的几何关系可以得到弦 的长度为

                          ,

式中a = d /2,R = AB / d 就是点P光振动的振幅AP,所以上式可以化为

                         .

由于各窄条发出的子波射线到达点P的相位不同,致使各个小矢量逐个转过某一小角度,最后转过了d角。可以设想,如果这些子波射线到达点P的相位相同,那么点P的光振动必定与点O的光振动相同,所以弧AB的长度必定等于矢量A0的长度。于是,大家就得到点P的振幅AP与点O的振幅A0之间的关系为

                        .                  (14-78)

因而这两点光强的关系为

                        ,                 (14-79)

式中

                       .                (14-80)

式(14-79)就是单缝夫琅禾费衍射的光强分布公式,图14-28画出了相对光强度IP /I0a 的变化关系。

    由式(14-79)和图14-28可以看到接收屏上光强分布具有下述特点:

    (1) 接收屏上具有相同a 值(或j值)的各点的光强都相同。所以, 在单缝夫琅禾费衍射图样中,亮暗条纹都平行于单缝。

    (2) 在透镜主光轴与接收屏的交点处,即点O,衍射角j = 0, a = 0, 光强为最大,这是因为

                         .

这就是前面所说的主极大,光强度为I0

    (3) 当a = kp (k = ±1, ±2 ,…)时,即a sinj = kl,光强为零,即为暗条纹。第一暗条纹(k = ±1, a = ±p)所对应的衍射角为

                       .                (14-81)

图 14-28

    (4) 中央亮条纹的宽度可用其两侧暗条纹之间的角距离来表示,由于对称性, 主极大的角宽度为从点O到第一暗条纹中心的角距离的两倍,所以从点O到第一暗条纹中心的角距离,称为主极大的半角宽度。由图14-28可见,主极大的半角宽度就是第一暗条纹的衍射角j0,近似等于l /a

    (5) 在两个相邻暗条纹之间有一亮条纹,称为次极大。次极大的位置可以从式(14-78)的微商为零求得。它们依次位于±1.43p、±2.46p、±3.47p、…处。

    (6) 中央亮条纹的宽度等于各次极大的两倍,也就是说,各次极大的角宽度都等于中央亮条纹的半角宽度。并且绝大部分光能都落在了中央亮条纹上。

       
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