§14-10  衍射光栅

    由大量等宽度、等间距的平行狭缝组成的光学系统,称为衍射光栅。平面透射光栅是衍射光栅的一种,它是由在平面玻璃上刻有许多等宽度、等间距的平行刻痕制成的。刻痕不能透光,而两相邻刻痕之间的光滑部分

可以透光,相当于单缝。缝宽度a和刻痕宽度b之和,即d = a + b,称为光栅常量。d越小,表示光栅的性能越好。高性能的光栅, 光栅常量d等于10-6 m或更小。

图 14-29

    下面大家来分析光栅的夫琅禾费衍射。用单色平行光垂直照射光栅G,衍射光经透镜L后,衍射条纹呈现在接收屏C上,如图14-29所示。显然,由每条狭缝射出的光都是狭缝的衍射光,遵从单缝衍射的规律。而由不同狭缝射出的光都是相干光,必定发生干涉。所以,在接收屏上得到的光栅衍射条纹是单缝衍射和缝间干涉的共同结果。

图 14-30

    设光栅有N条狭缝。让大家讨论由每条狭缝射出的衍射角为j 的衍射光到达点P的情形。上一节大家已经求得一个狭缝单独存在时在点P引起的光振动的振幅为

                 ,

式中a0表示单个狭缝在点O引起的光振动的振幅。现在有N个狭缝的衍射光同时到达点P并发生干涉,合振动的振幅用AP表示。任意两个相邻狭缝上对应点(见图14-30)的衍射线到达点P的光程差D和相位差 d 分别为

           和    

以任意一点D作起点,连续作一系列(N个)矢量,使后者的起点与前者的终点相重合,并且逐个转过 d 角,如图14-31所示。每个矢量的长度等于aP。折线DD1D1D2、…、DN-1DN 必定是正多边形的边。若中心为C,则CDD1CD1D2、…、CDN-1DN 必定都是顶角为d (=2b )的等腰三角形。由图14-31中的几何关系可得

图 14-31

                DD1 = 2DC sinb ,  

            DDN = 2DC sinNb .

由以上两式消去DC,便得

        ,

式中DD1 = aPDDNN个矢量的合矢量的长度,也就是由N个狭缝在j 方向上射出的衍射线在点P引起的合振动的振幅,即AP 。所以上式可以改写为

                                     (14-84)

P的光强则为

,             (14-85)

其中

,   .                   (14-86)

图 14-32

式(14-85)就是包含N个狭缝的光栅夫琅禾费衍射图样的光强分布公式。图14-32画出了N = 4、a + b = 3a的光栅衍射条纹的光强分布情形。

    由式(14-85)和图14-32可以看出, 接收屏上光强分布有如下特点:

    (1) 接收屏上任意一点的光强,等于N条相干光在该点所引起的干涉光强与宽度为a的单缝衍射在该点所引起的光强的乘积。

    (2) 接收屏上出现的主极大的衍射角j 应满足b = kp,也就是满足

                (a+b) sinj = klk = 0, ±1, ±2, …           (14-87)

上式称为光栅方程。光栅方程是决定主极大方向的公式。

    (3) 因受到单缝衍射规律调制的缘故,各个主极大的光强不尽相同。但是由于在主极大方向上满足

                           ,

所以主极大的光强是单缝在该方向光强的N 2倍。在单缝宽度一定的情况下,光栅狭缝越多,主极大的光强就越强。

    (4) 单缝衍射规律的调制作用还表现在有些主极大从接收屏上消失了,即发生了缺级现象。这是因为当j 角满足光栅方程(14-87)时,应该出现主极大, 但是该j 角正好也满足单缝衍射光强极小的条件a = k¢p,即

                             (14-88)

由式(14-87)和式(14-88)解得缺级的主极大的级次应满足

                                                  (14-89)

例如,当a + b = 3a时,k = ±3, ±6, …各级主极大都消失了,图14-32所画的就是这种情形。

                           图 14-33

    假如用白色平行光照射光栅,其中的各种单色光将各自产生衍射条纹。各种波长的中央亮条纹(k = 0)重叠在一起,仍呈白色。在中央亮条纹的两侧对称地排列着各色的第一级亮条纹、第二级亮条纹等,分别称为第一级光谱、第二级光谱等,如图14-33所示,这就形成了光栅光谱。

       
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