[例题分析]

    例题14-1  如果把人眼的成像归结为一个曲率半径为介质折射率为的单球面折射,试计算:

    (1)  焦点的位置;

    (2)  某物若在角膜厚处的视网膜上成像,该物应放在何处?横向放大率为多大?

      这是单球面折射的典型问题。焦点的位置可以利用焦距公式求出,物距可以根据单球面折射公式或高斯公式得出。求得物距后,即可利用横向放大率公式求出横向放大率。

    (1)  已知n1 = 1.000n2 = 1.333R = 5.70 mm,将这些数据代入单球面的焦距公式,得

        ,

          .

这表示第一主焦点F1位于主光轴上、在视网膜之前17.12 mm处,第二主焦点F2位于主光轴上、在视网膜之后22.82 mm处。

    (2)  n1 = 1.000n2 = 1.333R = 5.70 mml2 = 24.02 mm代入单球折射公式,得

                      ,

由此解得物距l1 = -342 mm 。这表示要在视网膜上呈现清晰的像,物体应放在角膜之前342 mm的地方。

    也可以利用高斯公式来求物距l1 。将f1 = -17.12 mmf2 = 22.82 mm,和l2 = 24.02 mm代入高斯公式,得

                        ,

由此解得l1 = -342 mm 。与上面的结果相同。

    n1 = 1.000n2 = 1.333l1 = -342 mml2 = 24.02 mm代入横向放大率公式,得

               .

横向放大率为负值表示像是倒立的实像,绝对值小于1表示像是缩小的。

    例题14-2  双凸透镜的两个球面的曲率半径都是0.12 m ,折射率为1.50 。现要得到横向放大率分别为m = -1.0m = 20m =-0.20 的像,问物体和像分别在何处?

      此问题的求解过程应是这样的:首先根据折射率和曲率半径求出该双凸透镜的焦距f ,然后利用透镜的横向放大率公式和成像公式,求得物距l1和像距l2

    将折射率n = 1.50、第一个球面曲率半径R1 = 0.12 m和第二个球面曲率半径R2 = 0.12 m代入薄透镜的焦距公式:

            ,

由此解得

                             f = 0.12 m .

    对于横向放大率m = -1.0 :由凸透镜成像规律可以断定,像是与物等大的倒立实像,物距约等于两倍焦距,物和像分居于透镜两侧。因为

                             ,

所以

                             .

将这个关系和f = 0.12 m代入成像公式:

                           ,

可求得

                    .

这表示,物位于透镜前、距光心0.24 m处,像位于透镜后、距光心0.24 m处。

    对于横向放大率m = 20 :由凸透镜成像规律可以断定,像是放大的倒立虚像,物距应小于焦距,物和像处于透镜的同侧。将l2 = 20 l1 f = 0.12 m代入成像公式,可求得

                    .

这表示,物位于透镜前、距光心0.114 m处,像位于透镜前、距光心2.28 m处。

    对于横向放大率m = -0.20 :可以断定,像是缩小的倒立实像,物距应大于两倍焦距,物和像应分居于透镜两侧。将l2 = -0.20 l1 f = 0.12 m代入成像公式,可求得

                      .

这表示,物位于透镜前、距光心0.72 m处,像位于透镜后、距光心0.144 m处。

14-3

    例题14-3  有一条光线通过发散透镜的焦点射向透镜,问这条光线经发散透镜折射后射向何方?

      根据题意,光线AB通过发散透镜的第二主焦点F2到达透镜的B点,如图14-3所示。可以肯定,光线AB经发散透镜折射后不可能平行于主光轴MN 。大家可以画一条与光线AB平行的光线DE ,并使DE的延长线通过发散透镜的第一主焦点F1 。根据发散透镜的性质,光线DE经发散透镜折射后必定平行于主光轴MN ,即图中所画的光线EG 。光线ABDE是平行于副光轴的平行光,经发散透镜折射后的光线的反向延长线必定相交于第二焦面上,即图中的H点。连接HB并延长,所得光线BK就是AB的折射光线。

14-4

    例题14-4  在杨氏双缝实验中所用入射光的波长为l。现用折射率为n的云母片将狭缝S2遮盖,观察到接收屏上的中央亮条纹移到了原来第k级亮条纹的地方,求云母片的厚度。

      沿接收屏向上为x轴,建立如图14-4所示的坐标系。设两缝间距为2a,云母片的厚度为e,狭缝到接收屏的距离为D。在没遮盖云母片时,接收屏上坐标为x的点P的光程差为

;

在狭缝S2用云母片遮盖后,将引起附加光程差(n - 1) e,所以点P的光程差变为

                         .

中央亮条纹应满足光程差为零的条件,在上式中令D = 0,并从中解出

                          ,                        (1)

式中负号表示条纹向x的负方向移动,即向接收屏的下方移动。上式表示,中央亮条纹移到了x处,而此处是原先第k级亮条纹所在的位置,应满足

                            .                         (2)

将式(2)代入式(1)

                           ,

从中解出云母片的厚度,为

                             .

14-5

    例题14-5  在单缝的夫琅禾费衍射中,用焦距为1.50 m的凸透镜将衍射图样投射在处于焦面的接收屏上。若使用波长为l1 = 500.0 nm的光,测得第三暗条纹到主极大中心的距离为3.00 mm;若使用波长为l2的光,测得第二暗条纹到主极大中心的距离为3.00 mm。求:

    (1)  单缝的宽度a

    (2)  波长l2

      14-5是单缝夫琅禾费衍射的示意图。

    (1)  由图中可见,若第三暗条纹处于接收屏的点P,衍射角j应满足下面的关系:

                   .

j角很小的情况下,下面的关系成立:

                            .

k级暗条纹满足

                            ,

k1 = 3l1 = 500.0 nmsinj = 2.00´10-3 代入上式,可求得单缝的宽度

          .

    (2)  对于波长为l2的光,其第二暗条纹也处于接收屏的点P,衍射角也为j,故有

                           ,

由上式可以求得

           

    例题14-6  自然光垂直通过偏振片和某种波片之后偏振态如何变化?已知偏振片的透振方向与波晶片的光轴成a角,波片分别为:(1) 波长片,(2) 1/2波片,(3) 1/4波片。

      自然光通过偏振片后成为线偏振光,线偏振光进入波片后将分解为振动方向互相垂直的线偏振光,它们分别是e光和o光,其中e光的振动方向沿波片的光轴。至于e光和o光之间的相位差,决定于波片的性质:波长片引起的相位差为2p1/2波片引起的相位差为p1/4波片引起的相位差为p /2。从波片出射的光的性质,既决定e光和o光之间的相位差,也与波片光轴的方向有一定关系。

    (1)  波片为波长片:线偏振光进入波长片后,被分解为振动方向互相垂直的两束线偏振光,出射时它们之间的相位差为2p,合成后,为与入射光的振动方向相同的线偏振光,而无论a为何值。

    (2)  波片为1/2波长片:线偏振光进入半波片后,被分解为振动方向互相垂直的两束线偏振光,出射时它们之间的相位差为p,合成后,仍为线偏振光,只是振动方向与入射线偏振光相比转过2a角。

    (3)  波片为1/4波长片:线偏振光进入1/4波片后,被分解为振动方向互相垂直的两束线偏振光,出射时它们之间的相位差为p/2,当a = 45°时,合成后为圆偏振光,当a ¹ 45°时,合成后为椭圆偏振光。

       
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