[习题解答]

    15-1  在恒星演化过程中,当能源耗尽时,星体将在万有引力作用下发生坍缩,而成为密度极高的星体。同时,由于先前的核燃烧,这种星体的温度仍然很高,因而发出白光,故得名为白矮星。天狼星的一个伴星,是人们发现的第一颗白矮星,如果测得其最大单色辐出度所对应的波长为0.352 m m,试根据维恩位移律估计它的表面温度。

      根据维恩位移律

                                 ,

可以计算这颗白矮星的表面温度,为

                  .

    15-2  三个大小相同并可看作为黑体的球体,测得其最大单色辐出度所对应的波长分别为0.300 mm0.400 mm0.500 mm,试求它们的温度以及它们在单位时间内向空间辐射的能量之比。

      根据维恩位移律可以求得它们的温度,分别为

                          ;

                          ;

                           .

根据斯特藩-玻尔兹曼定律

                         

和上面已经得到的温度,就可以求出它们的辐出度M0 。辐出度是表示该黑体在单位时间内从其表面单位面积上辐射出的能量,因为三个球体大小相同,它们在单位时间内向空间辐射的能量之比,就等于它们的辐出度之比,即

          .

    15-3  试由普朗克公式在短波近似情况下导出维恩公式,在长波近似情况下导出瑞利-金斯公式。

      黑体的单色辐出度可以用普朗克公式表示,即

                         .                   (1)

在短波近似情况下,有

                         ,   .

这样就可以在普朗克公式中略去1,而成为下面的形式

                          .                     (2)

,并代入上式,得

                            .

这正是维恩公式。

    在长波近似情况下,有

                      ,   .

于是,普朗克公式成为下面的形式:

                      .

这正是瑞利-金斯公式。

    15-5  试求波长为下列数值的光子的能量、动量和质量:

    (1)  波长为1.2´103 nm的红外线;

    (2)  波长为6.2´102 nm的可见光;

    (3)  波长为0.34´102 nm的紫外线;

    (4)  波长为1.6´10-2 nmX射线;

    (5)  波长为1.1´10-3 nmg射线。

     

    (1)  对于波长为1.2´103 nm的红外线,:

    能量为

                       ;

    动量为

                      ;

    质量为

                         .

    (2)  对于波长为6.2´102 nm的可见光,:

    能量为

                        ;

    动量为

                       ;

    质量为

                         .

    (3)  对于波长为0.34´102 nm的紫外线,:

    能量为

                        ;

    动量为

                       ;

    质量为

                          .

    (4)  对于波长为1.6´10-2 nmX射线,:

    能量为

                        ;

    动量为

                       ;

    质量为

                         .

    (5)  对于波长为1.1´10-3 nmg射线,:

    能量为

                        ;

    动量为

                       ;

    质量为

                          .

    15-6  已知金属钨的逸出功为4.38 eV,若用波长为429 nm的紫光照射其表面,问能否产生光电子?若在钨的表面涂敷一层铯,其逸出功变为2.61 eV,结果又将如何?若能产生光电子,求光电子的最大初动能。

      入射光子的能量为

            ;

金属钨的逸出功为

                   .

因为,所以不能产生光电子。

    当在钨表面涂敷铯,逸出功变为

                  ,

这时,所以能够产生光电子。根据光电效应的爱因斯坦方程

                            ,

光电子的最大初动能为

                      .

    15-7  金属钾的红限为4.62´1014 Hz,若用波长为436 nm的光照射,求光电子的最大初速度。

      根据红限的定义,可以求得金属钾的逸出功

             .

光电子的最大初动能为

       ,

光电子的最大初速度为

                   .

    15-8  金属钠的红限为4.39´1014 Hz,求:

    (1)  金属钠的逸出功;

    (2)  用波长为500 nm的光照射时的遏止电势差。

     

    (1)  金属钠的逸出功为

              .

    (2)  因为遏止电势差表征了光电子的最大初动能,故有

                              ,

将此关系代入光电效应的爱因斯坦方程,得

                              .

于是有

                      .

所以,遏止电势差为 -0.666 V

    15-10  在康普顿效应中,入射X射线的波长是5.00´10-2 nm,求在散射角j = 45° 90° 180° 的方向上散射线的波长。

      根据波长改变公式

                       ,

散射线的波长可以表示为

       .

    对于

             ;

    对于

             ;

    对于

             .

    15-11  波长为1.60´10-10 mX射线被某散射体所散射,求在散射角为60°的方向上散射X射线的波长和引起这种散射的反冲电子所获得的动能。

      在散射角为60° 的方向上散射X射线的波长为

     

        .

反冲电子所获得的动能等于X光子损失的能量,即

      .

    15-12  波长为4.2´10-3 nm的入射光子与散射物质中的自由电子发生碰撞,碰撞后电子的速度达到了1.5´108 m×s-1 。求散射光子的波长和散射角。

      先求波长的改变量Dl,再求散射光子的波长,最后求散射角。

    求波长的改变量Dl

    反冲电子的质量

                         ;

反冲电子获得的动能DEk

              .

    反冲电子获得的动能就等于光子损失的能量,而光子损失的能量与波长的改变量Dl有如下关系:

                           ,

由此可以求得波长的改变量Dl,得

                           .

由波长改变量即可求得散射光子的波长,为

           .

    由波长改变量可求得散射角

                           ,

                 ,

从中求得

                           ,

                                .

    15-16  计算氢原子光谱的莱曼系谱线和巴耳末系谱线的波长范围。

     

    (1)  巴耳末系谱线的波长范围:

巴耳末系可以表示为

                       

时,对应于长波限的波数:

                    ,

                          ;

时,对应于短波限的波数:

                   ,

                           .

    (2)  莱曼系谱线的波长范围:

莱曼系可以表示为

                      

时,对应于长波限的波数:

                   ,

                          ;

时,对应于短波限的波数:

                   ,

                           .

    15-17  在氢原子的紫外光谱中有一条波长为121.57 nm的谱线,问这条谱线属于哪个线系?它是原子在哪两个能级之间跃迁产生的?

      波长为121.57 nm的谱线属于莱曼系,是从能级到能级的跃迁产生的。

    15-18  依照玻尔理论,求出处于基态的氢原子的下列各量:量子数、轨道半径、角动量和动量、电子所受的力、电子的角速度、速率、加速度、动能、势能以及总能量。

     

    量子数:

                                 ;

    轨道半径:

                     ;

    角动量:

                   ;

    动量:

                       ;

    速率:

                         ;

    角速度:

                         ;

    受力:

                        ;

    加速度:

                         ;

    动能:

                    ;

    势能:

                    ;

    总能量:

                        .

    15-19  计算n = 8的氢原子的直径和电子的运动速率。

      代入氢原子半径的表达式,得

                     ,

原子的直径为

                          .

    动量为

                            ,

将氢原子半径的表达式代入上式,得

                              ,

所以

                       .

    15-20  若氢原子处于激发态的平均时间为1.0´10-8 s,问氢原子中电子在n = 2的轨道上运行多少圈才跃迁到基态并放出光子?

      由以下两式

                           ,

                              ,

可以求得电子的运动速率

                               .

当原子处于时,电子的运动速率为

                   .

电子在此轨道上运行一周所用的时间为

                    .

电子在激发态运行的平均周数为

                              .

    15-21  求处于以下两种状态的氢原子的电离能 (eV为单位)

    (1)  基态;

    (2)  n = 6的激发态。

     

    (1)  基态的电离能,就是将电子从基态()激发到完全自由态()所需要的能量,可如下求得

      .

    (2)  n = 6的激发态的电离能

      .

    15-22  一个具有5.6 eV动能的中子,与一个处于基态的静止氢原子相碰撞,问这种碰撞是弹性碰撞,还是非弹性碰撞?

      当具有一定动能的中子与处于基态的静止氢原子相碰撞时,如果中子的动能的大小正好等于氢原子从基态跃迁到某一激发态所需要的能量,碰撞后该中子的动能就全部被氢原子吸取,而使氢原子从基态跃迁到激发态,中子和氢原子的动能都等于零。这样的碰撞是完全非弹性的,否则碰撞就是弹性的。

    氢原子从基态跃迁到最低的激发态()所需要的能量是

                 .

因为中子的动能5.6 eV < 12.8 eV , 所以,碰撞不足以使氢原子从基态跃迁到激发态,碰撞是完全弹性的。

    15-23  求在温度为3.0 K的液氦中冷冻着的中子的德布罗意波长。

      将冷冻中子系统看成理想气体系统,该系统处于平衡态时,中子的平均动能为

                          ,

中子的动量为

                      ,

于是可求得中子的波长为

                        .

    15-24  分别计算动能为0.10 MeV1.0 GeV的电子的德布罗意波长。

      设电子的静质量为m0,根据相对论关系

                           

                            ,

可以解得

                          

                              .

于是可以求得电子的波长

                     .                    (1)

    对于动能为的电子,将动能和其他有关量代入式(1),可求得德布罗意波长,为

                     .

    对于动能为的电子,由于,式(1)可以简化为

                                .                             (2)

所以,其德布罗意波长为

                     .

    15-25  如果电子和光子的波长都是0.20 nm,那么它们的动量和能量各为多大?

     

    (1)  动量:由公式

                                 

可以看到,无论什么粒子,只要波长相等,其动量的大小就相同。所以电子和光子的动量都为

                        .

    (2)  能量:

    对于光子,与波长l相对应的能量是其总能量,因为它没有静能。

                         ;

    对于电子,与波长l相对应的能量是其动能。

                     .

    15-26  电子运动速率为300 m×s-1,其测量准确度为0.01 %,若要确定这个电子的位置,求位置的最小不确定量。

      根据

                               ,

电子位置的最小不确定量为

                      .

    15-27  若电子和质量为10.0 g的子弹都以300 m×s-1的速率运动,并且速率的测量准确度都为0.01 %,试比较它们的位置的最小不确定量。

      上面已经求得了电子位置的最小不确定量为;

子弹位置的最小不确定量为

                      .

两者相比可见,由于子弹的质量比电子大得多,所以子弹的位置完全可以准确测定。

       
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