§16-2  薛定谔方程

         一、含时薛定谔方程    

         薛定谔(E.Schrodinger, 1887-1961)方程是波函数随时间和空间变化所普遍遵从的规律,是量子力学中的基本方程式。因为薛定谔方程是量子力学原理的一个基本假设,它的正确性要由实验来检验,要由它推论的结果的正确性来确认,所以它是不能直接证明或推导的。下面大家从自由粒子入手来探讨薛定谔方程的形式。

         自由粒子可以用平面波函数表示

                  ,             (16-7)

根据德布罗意关系式(15-46)和式(15-47),可将上式中的w k化为

                 ,              (16-8)

             .         (16-9)

将式(16-8)和式(16-9)代入式(16-7),得

                  ,           (16-10)

这就是在三维空间中沿动量p的方向传播的平面波函数。

         将平面波函数对时间微商,整理后得

                         .                   (16-11)

将平面波函数对坐标二次微商,整理后得

                .         (16-12)

式中Ñ 2称为拉普拉斯算符。从式(16-11)和式(16-12)大家可看到两个形式上的等价关系

                          Û E ,                        (16-13)

                 Û p2  或者  Û p .          (16-14)

这就是说,在以上两式中,箭头前的符号作用于波函数等于箭头后的量乘以波函数。这类等价关系以后大家还将普遍地看到。在粒子的运动速度远小于光速的非相对论情况下,自由粒子的动能(也就是它的总能量)与动量之间存在下面的关系

                           ,                     (16-15)

式中m 是粒子的质量。根据上式和上述等价关系,可以得到

                        ,                 (16-16)

这就是自由粒子所满足的薛定谔方程。

         如果粒子不是自由的,而是处于力场中,势能为U(r),这时粒子的总能量应是动能和势能之和,即

                        .                 (16-17)

利用式(16-11)和式(16-12)的等价关系,以及式(16-17),可以得到

                ,        (16-18)

这就是一般形式的薛定谔方程,也称含时薛定谔方程,它描述了粒子状态随时间的变化,反映了微观粒子运动的基本规律。

         薛定谔方程(16-18)是线性方程,这就保证了它的解,即描述粒子的量子态的波函数满足态叠加原理。另外,薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程并包含有虚数因子,这样的方程如果存在波动形式的解,那么它的解,即波函数,必定是复数。这正是大家在一开始就把波函数认为是复数形式的原因。这种情形与在经典物理学中常把波动写成复数形式是有根本区别的,在那里,无论弹性波还是电磁波都是用三角函数(常用余弦函数)表示的,写成复数形式只是为了数学处理上的方便,有直接物理意义的是复数的实部,所以在使用复数形式处理所得到的最后结果时,还必须取其实部。但是,在量子力学中描述微观粒子的波函数本身就是复数,因而是没有直接物理意义的, 具有直接物理意义的是波函数的模的平方,它代表了粒子出现的概率。

       
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