二、定态薛定谔方程

         如果粒子所处势场只是坐标的函数,而与时间无关,即可以写成U(r)的形式,这时可将薛定谔方程的一个特解写成坐标函数与时间函数的乘积,即

                        y(r, t) = y(r) f(t) .               (16-19)

将上式代入薛定谔方程(16-18),分离变量后得

              .       (16-20)

上式左边只是时间的函数,右边只是坐标的函数,而时间和坐标都是独立变量,所以两边只能同时等于一个与时间和坐标都无关的常量, 可将这个常量表示为E。于是式(16-20)就分成了两个方程,第一个方程是

                         ,                (16-21)

这个方程的解为

                          ,                 (16-22)

式中C为常量,以后可以归并到y(r)中,最后由归一化条件[式(16-3)]一起确定。第二个方程是

                  ,           (16-23)

这就是定态薛定谔方程,求解这个方程就可以得到定态波函数y(r)。特解(16-19)则可以表示为

                       y(r, t) = y(r) .                  (16-24)

由这个波函数所描述的粒子的各种状态,称为定态。处于定态下的粒子, 在空间的概率密度分布为

               ,          (16-25)

只决定于定态波函数及其共轭复数,显然是不随时间变化的。

         将特解(16-24)与自由粒子的平面波函数(16-10)相比较, 常量E就是粒子的能量,包括粒子的动能和势能。

       
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