四、本征函数、本征值和平均值

         算符是代表对波函数的一种运算,通过这种运算把一个波函数或量子态变换成另一个波函数或量子态。若将某个力学量的算符 作用于波函数,正好等于一个常量A乘以波函数,即

                          .                    (16-33)

这类方程,就称为力学量 的本征值方程,满足本征值方程的常量A称为力学量 的本征值,满足本征值方程的波函数称为力学量 的与本征值A对应的本征函数(或本征态)。

         引入哈密顿算符 后,定态薛定谔方程可以简化为

                       .                  (16-34)

在一定边界条件下,定态薛定谔方程一般只对一些特定E值有解,这些特定的E值就是哈密顿算符的本征值,也就是量子系统的能量本征值,量子系统能量的整套本征值,就是该系统的能谱。不同的量子系统有不同的哈密顿算符,因而有不同的能谱和不同形式的定态波函数。

         由上面的讨论大家已经知道,如果粒子所处状态 是某力学量的本征态,那么在这个量子态下该力学量具有确定值,此确定值就是该本征态所对应的本征值。如果粒子所处的状态不是该力学量的本征态,则该力学量不具有确定值,而具有一系列可能值,这些可能值具有确定的概率分布,由概率分布就可以计算其平均值。

         在量子力学中,任何一个力学量 的平均值都可以用下式计算

                    .           (16-35)

这表示,要求力学量 的平均值,应先将力学量算符 作用于波函数 ,然后将所得结果与波函数的共轭复数 相乘,最后对体积积分。

       
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