五、概率守恒和概率流密度矢量

         既然由式(16-1)所表示的

               

是粒子出现在某处的概率密度,那么当粒子运动时,粒子出现的概率密度也将随之变化。可以设想,如果粒子从某处流到另一处,那么表示粒子出现的概率也必定同时作相应的“流动”。于是可以定义概率流密度,表示粒子分布的概率密度随粒子的流动而在空间的变化,为了表示这种变化的方向性,可以把概率流密度写为矢量,称为粒子的概率流密度矢量,用jg表示。

如果大家讨论的粒子是具有电量q的带电粒子,那么很显然,qr必定对应于空间某处的电荷密度,qjg必定对应于该处由带电粒子流动所形成的电流密度。同时大家也会马上联想到在第十一章讨论过的电流的连续性方程

    ,

它表示,单位时间由闭合曲面S内流出的电量,必定等于在同一时间内闭合曲面S所包围的电量的减少。在这里,使用概率和概率流的概念,上式应写为

.            (16-36)

或者改写为

,             (16-37)

此式清楚地表明,在空间某体积V内发现粒子的概率在单位时间内的增量,必定等于在同一时间内通过V的边界面S流入体积V的概率。这一结论称为概率守恒,上式是概率守恒的积分形式。其微分形式为

                          ,                  (16-38)

概率守恒的上述表达式完全可以用薛定谔方程(16-18)严格推导出来,并且可以得到概率流密度矢量jg的如下表达式:

                  ,           (16-39)

概率守恒的涵义实际上是相当广泛的,不仅表示了粒子数守恒,而且可以由此得出质量守恒和电荷守恒。

       
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