§16-3  一维势阱和势垒问题

         上一节大家简要地阐述了量子力学的一些基本概念和基本原理,这些概念和原理都在一维无限深方势阱、势垒和一维谐振子等问题中以最简单的形式表现出来,所以本节和下一节的内容可以看作为量子力学概念和原理的具体应用。同时,一维无限深方势阱是金属中自由电子的一个简化模型,是说明金属物理性质的基础;一维谐振子则是处理黑体辐射、晶格振动等多种物理问题的基础。

         一、一维无限深方势阱

         所谓一维无限深方势阱,就是粒子在势阱中的势能为零,而在势阱外势能等于无限大,即

                                                (16-40)

图16-1  

这样,粒子就被限制在x = 0和x= a两点之间的无限深的平底深谷中运动,如图16-1所示。

         因为势能U(x)与时间无关,所以这是定态问题,可以用定态薛定谔方程求解。在势阱内U(x) = 0,哈密顿算符的形式成为 ,定态薛定谔方程可写作

,    (16-41)

                          ,                    (16-42)

方程(16-45)的解可以表示为

                      ,                  (16-43)

式中Aa 是积分常数,应分别由归一化条件和边界条件确定。

    粒子不可能穿越阱壁而到达阱外去,所以在阱壁和阱外波函数应为零。根据 ,可以确定a = 0或mpm =1,2,3,×××。于是,式(16-43)可以写为

                          .

根据 ,可以得到

                      ka = npn = 1,2,3,…               (16-44)

其中排除了n = 0的情况,因为当n = 0时,必定k = 0,由式(16-41),应有

                           ,

由此解得

                         y (x ) = C x + D .

x = 0,y = 0代入上式,可得D = 0;将x = ay = 0代入上式,可得C = 0。既然D = 0,C = 0,所以y(x)=  0。可见,在式(16-44)中当n = 0时,y (x) = 0,没有物理意义。

         由式(16-42)和式(16-44)可以得到

                         (16-45)

其中任意一个能量值En,都是能量的本征值,由式(16-45)所表示的整套能量本征值,就是系统的能谱。显然,一维无限深方势阱的能谱是分立谱, 这个分立的能谱就是量子化了的能级。粒子的最低能量状态称为基态,就是n = 1的状态,基态的能量为

                         .                 (16-46)

此本征值能量称为零点能,是束缚在无限深方势阱内的粒子所具有的最低能量。既然量子系统具有零点能,就必定存在零点运动。这一结果与经典物理学概念相矛盾,经典物理学的结论是当系统的温度达到绝对零度时,一切运动都将停止,能量变为零。

         与能量本征值En相对应的本征函数yn (x)可以表示为

                       .               (16-47)

利用归一化条件

                        ,                 (16-48)

可以求得到

                           ,

于是归一化波函数可以表示为

                          (16-49)

图16-2中画出了对应于能量本征值E1E2E3E4的波函数y1y2y3y4,以及相应的概率密度 。由图(a)可以看出, 波函数在阱区内的分布与在弦线上形成驻波的情形很相似,在x = 0和x = a处波函数为零的边界条件与弦线两端固定的条件相当。在基态(n = 1)的波函数,阱区内无节点,整个阱区相当于半波长的驻波, 而第一、二和三激发态(分别对应于n = 2、 n = 3和n = 4),阱区内分别出现1、2和3个节点, 分别相当于1、1.5和2个波长的驻波。显然,随着量子数n的增大,波长在缩短,频率在增加,所以相应状态的能量在提高。图16-2(b)画出了对应于四个能级粒子的概率密度。可以看出,在不同的能级上粒子出

图16-2

现的概率密度是不同的。在基态,粒子出现的概率在阱区中部为最大,而越接近阱壁概率越小,阱壁上概率为零。在激发态,粒子在阱区内出现的概率是起伏变化的,随着量子数n的增大,起伏变得越来越频繁。这个结果也与经典物理学的结论不一致,后者的结论是,粒子在阱区内各处出现的概率是相等的。由图中所表示的情况大家可以推断,只有当量子数n很大时,粒子在阱区内各处的概率才趋于均匀。

    例题16-3  证明无限深方势阱中,不同能级的粒子波函数具有下面的性质

                           ,

这种性质称为正交性,即不同能级的波函数是互相正交的。

    解  将m能级的波函数 取其共轭复数 ,与n能级的波函数 相乘并在粒子所能到达的整个空间(在此就是阱区内)积分,得

         

          

           = 0 ,

所以,不同能级的波函数是正交的。如果把波函数的正交性和归一性表示在一起,可写为

                          ,                       (16-50)

其中

                        当m = n 时 ,  dmn  = 1 ,

                        m ¹ n 时 ,  dmn  = 0 .

dmn 称为克罗内克符号。

       
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