§16-4  一维谐振子问题

         一、一维谐振子的定态薛定谔方程

         在经典力学中,简谐振动是物体在线性回复力F = -kx作用下发生的一种运动形式,其位移与时间的关系可以表示为

                       .

取平衡位置为坐标原点,并作为势能零点,则系统的势能可以表示为

                    ,             (16-60)

图16-5

式中k是谐振子的劲度系数,m 为谐振子的质量, 是振动角频率。势能曲线如图16-5所示。大家曾经得到简谐振子的能量为

                   .    (16-61)

以上这些都是大家在经典力学中早已熟悉的结论。

         在量子力学中,谐振子问题是研究许多周期性运动的出发点,是一个重要的物理模型。诸如原子分子的振动、黑体辐射、晶格振动以及量子场论中的场量子化等都可以用谐振子这一物理模型来处理。现在让大家考虑微观粒子被束缚在形如图16-5所示的势阱内的情况。显然,粒子的运动规律应由定态薛定谔方程来确定。

         将一维谐振子的势能形式[式(16-60)]代入定态薛定谔方程(16-23)中,可以得到

                 .        (16-62)

求解这个方程,并使解满足束缚态条件,就可以得到一维谐振子的能量本征函数和能量本征值。

       
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