二、一维谐振子的本征函数和能量本征值

         求解方程(16-62),首先必须对方程进行函数变换,然后根据束缚态条件和波函数的有限性,求出波函数的一般形式,最后利用归一化条件,确定归一化系数。这里大家略去数学处理过程,仅给出大家所关心的结果。所求得的波函数的一般形式为

                 

                     ,         (16-63)

这是一维谐振子的定态波函数,也是能量En 的本征函数。式中Hn(x )称为厄米多项式,它的具体形式为

                      ,            (16-64)

                            ,                   (16-65)

                         .                (16-66)

所求得的一维谐振子的能量本征值En

                           (16-67)

这表示一维谐振子的能量只能取一系列分立值,并且相邻能级是等间距的,等于 。当一维谐振子处于基态(n = 0)时,其能量为

                          ,                   (16-68)

此能量称为零点能,表示谐振子的最低能量不等于零,即使当温度接近绝对零度时,谐振子仍然进行着零点振动,或者说静止的谐振子是不存在的。这一结论已被实验所证实。

         在推导黑体辐射的普朗克公式时,普朗克曾经假设了谐振子的能量公式为En = n ,与大家上面运用量子力学方法所得到的能量公式(16-67)相差一个常量项hw / 2,而实验证明大家这里的结论是正确的。这就是说,若将普朗克假设的能量公式改为式(16-67),同样能够得出黑体辐射的普朗克公式来。

         按照经典力学的结论,一维谐振子的能量如式(16-61)所表示,如果在势能曲线的纵轴上取与振子能量相应的E点,过E点作x轴的平行线,交势能曲线上MN两点,如图16-6所示。MN所对应的横坐标的绝对值就是振子的最大位移,振子只能处于x < çAç的范围内,x >çAç的区域则是经典禁区,振子是不可能进入这个区域的。而在量子力学中,由于隧道效应,粒子可以到达经典禁区,也就是说,在所谓“经典禁区”内发现粒子的概率不等于零,不存在什么禁区。

             图16-6

图16-7

         另外,按经典力学的规律,在平衡位置(x = 0)振子的速度为最大,停留的时间为最短,而在最大位移处(x = ±A),振子的速度为零,停留的时间最长。将这一规律应用于微观粒子,自然会得出在平衡位置粒子出现的概率最小,而在最大位移处粒子出现的概率最大。实际情况是否如此呢?大家只能从波函数中得到结论。图16-7(a)和(b)分别画出了对应于量子数n = 0,1,2三种情况的波函数y1y2y3,以及相应的概率密度 。由图可以看出,在量子数n较小时,粒子位置的概率密度的分布与经典结论明显不同。可以推断,随着量子数n的增大, 概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论(n = 1和2的图中的虚曲线就表示了这种平均分布,虚竖线以外的区域是经典禁区)。

       
XML 地图 | Sitemap 地图