*§16-5   氢原子

         一、有心力场中的薛定谔方程

         氢原子是原子核(质子)与电子所组成的带电体系,在这个体系中,由于电子的质量约为原子核质量的1836分之一,所以原子核和电子之间的相对运动问题,可以简化为电子处于由原子核所提供的有心力场中的绕核运动。系统的势能可以表示为

                         .                   (16-69)

可见,势能只是电子与原子核之间距离r的函数,所以这是一个典型的中心力场问题,并且与时间无关,可以用定态薛定谔方程求解。哈密顿算符可以表示为

                  ,       (16-70)

式中me是电子的质量。定态薛定谔方程可写为

                    .           (16-71)

将拉普拉斯算符写为球坐标的形式

     

         ,                         (16-72)

其中

               .          (16-73)

将式(16-72)代入式(16-71),得

         .      (16-74)

若将波函数表示为三个函数的乘积

              ,        (16-75)

方程式(16-74)可以用分离变量法求解。将式(16-75)代入式(16-74)后,分离变量并整理,可以得到下面的三个方程式:

              ,        (16-76)

               ,        (16-77)

                          .                (16-78)

式(16-76)、(16-77)和式(16-78)是氢原子中电子波函数y(r,q,j)的三个组成部分R(r)、Q(q)和F(j)分别满足的方程。其中l m都是在分离变量时引入的常量,它们的取值应在求解这三个方程式时得出。

       
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