二、角动量的本征函数和相应的量子数

         在涉及角动量平方算符和本征值之前,大家先来讨论方位角波函数F(j)和极角波函数Q(q)的情形,因为这两部分波函数是与角动量平方的本征函数密切相关的。

         方位角波函数F(j)是方程(16-78)的解,在一般情况下解的形式为

                         ,                   (16-79)

式中A是积分常数,稍后大家将根据归一化条件确定它。由于波函数必须具有单值性,F(j)也必须是单值的。所以,F(j)必须是以2p 为周期的周期性函数,应满足F(j) = F(j +2p),即

                       .

这就要求m只能取整数0, ±1, ±2, …。m是氢原子的磁量子数,下面大家将继续讨论它的物理意义。

         根据归一化条件[式(16-3)],对于方位角波函数应有

                      ,

马上可以求得归一化系数

                          ,

所以归一化方位角波函数可以表示为

                       .                 (16-80)

         极角波函数Q(q)的具体形式应由方程(16-77)求出。极角波函数Q(q)应该具有一般波函数的有限性,为确保其有限性,数学上要求方程式(16-77)中的l 必须满足

                     l = l(l+1) ,  l = 0, 1, 2, ×××                  (16-81)

并且要求 êm ê£ l ,即

                      m = 0, ±1, ±2, …, ±l .               (16-82)

在这些条件的限制下,方程(16-77)的解Q(q)是一个被称为关联勒让德函数的特殊函数,表示为 。如果将Q(q)和F(j)合在一起,并正交归一化, Y(q,j)具有下面的形式

         

           ,      (16-83)

这个函数称为球谐函数。

考虑到角动量平方算符的表达式(16-30),大家发现球谐函数Ylm (q,j) 满足下面的关系:

                 ,          (16-84)

上式表明,球谐函数Ylm (q,j)是角动量平方的本征函数。其本征值为

                         L2 = l(l+1) .                  (16-85)

由此可以求得角动量的本征值,为

                        ,                  (16-86)

l称为轨道量子数或角量子数,表示电子相对于原子核的角动量的大小。核外电子相对于核的角动量,称为轨道角动量。“轨道”两字在此只是为了区别于以后将要讨论的电子的自旋角动量,千万不要误认为核外电子沿轨道运动。实际上,经典物理学中的轨道运动的概念,在量子力学中是没有意义的,也是不符合微观粒子波动性的实际情况的。

         从式(16-32)中大家已经看到,在角动量平方的算符表示式中包含了算符 , 这说明球谐函数Ylm (q,j) 既是算符 的本征函数,也是算符 的本征函数,故有

     

                     .

所以,算符 的本征值为

                ,    m = 0, ±1, ±2, …, ±l .          (16-87)

m称为磁量子数,表示电子轨道角动量的z分量的大小。在一定的l值之下,m可取2l+1个可能值,这就是说,电子的轨道角动量L在空间只有2l+1个可能的取向,而不存在除这2l+1个取向之外的其他取向。轨道角动量在空间不能任意取向,而只能取某些特定方向的性质,称为角动量的空间量子化。

       
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