三、径向波函数和氢原子的能级

         径向波函数R (r) 所满足的方程是式(16-76),求解得到

              .     (16-88)

其中归一化系数为

                 ,           (16-89)

式中

                n = 1, 2, 3, ××× ,   l = 0, 1, 2, ×××, (n-1) .        (16-90)

在径向波函数Rnl (r)中的 也是一个特殊函数,称为(l+1-n)阶合流超几何多项式。在径向波函数中的另一个量a的具体形式为

                       ,                (16-91)

与式(15-41)相比较,马上可以看到a就是玻尔半径a0

         在求解方程(16-76)并得到径向波函数(16-88)的过程中,考虑到大家所需要的方程式的解,是氢原子中电子的径向波函数,它既是方程(16-76)的解,又必须满足物理上的束缚态条件的要求,因为电子是被束缚在原子核提供的有心力场中的。为使波函数满足束缚态条件,数学上要求方程(16-76)中的常量只能取一系列分立值,即

                     

从上式解出能量E,就得到氢原子的能量本征值

                         (16-92)

这就是氢原子的能级公式,与玻尔氢原子理论中的能级公式完全一致。在玻尔理论中,此结果是由于人为地引入了量子化条件,但在量子力学中,则是在求解薛定谔方程的过程中为使解满足物理条件而自然地得到的。

         从能级公式(16-92)可以看到,E¥ = 0,这是电子不再受原子核束缚而完全脱离原子核势场的情形,这就是电离。当n = 1,即氢原子处于基态时,能量为

                  .               (16-93)

这表示,如果处于基态的氢原子获得13.597 eV的能量,其中的电子就可以完全脱离原子核的束缚,即氢原子被电离,所以çE1ç就是氢原子的电离能。

       
XML 地图 | Sitemap 地图