二、薛定谔方程(§16-2)

    1. 含时薛定谔方程

    (1)  含时薛定谔方程可以表示为

                  .

    (2)  关于这个方程式,应注意以下几点。

    a)  薛定谔方程是量子力学中的基本方程式,是描述微观粒子的波函数普遍遵从的基本规律。通过求解薛定谔方程得到波函数和相关物理量,是量子力学的基本思想。

    b)  薛定谔方程是量子力学中的一个基本假设,不能直接证明或推导,它的正确性应由实验来确认。

    c)  既然薛定谔方程是量子力学中的基本方程式,由方程式的形式可以看出,这个方程式的解(即波函数)必定是复数,这也注定了波函数本身是不会有直接物理意义的。

    d)  由于薛定谔方程是线性方程,这就保证了描述粒子的量子态的波函数满足态迭加原理。

    e)  含时薛定谔方程是支配在外场中静质量不等于零的粒子的非相对论性运动的波动方程。至于说薛定谔方程是“非相对论性”的,这是因为在含时薛定谔方程中包含了粒子动能与动量的关系是

                             ,

这个关系只适用于粒子的运动速度远小于光速的非相对论情况下。

    2. 定态薛定谔方程

    (1)  定态薛定谔方程可以表示为

                   .               (1)

一维形式是

                   .             (2)

                              ,                      (3)

其中

                           ,

是哈密顿算符。在定态薛定谔方程(1)(2)(3)中,等号左边是哈密顿算符作用于波函数,等号右边是实常量E乘以波函数,E是能量值,不是算符。

    (2)  定态薛定谔方程适用于粒子所处势场只是坐标的函数,而与时间无关的情况。求解这个方程所得到的波函数是定态波函数y(r)y(x),由定态波函数所描述的粒子的各种状态,称为定态,与上一章在玻尔关于氢原子的量子理论中的定态具有相同的意义。

    (3)  除了上面所说的波函数的一般性质以外,定态波函数y(r)还具有下面的两条主要性质:

    a)  由它描述的粒子所处量子态(定态)的能量不随时间变化;

    b)  粒子分布的概率密度不随时间变化,这可由下式清楚地看到:

         .

    3. 力学量的算符表示

    (1)  用算符来表示力学量,是在经典物理学中不曾遇到的,这是量子力学原理的又一基本假设。至于某力学量的算符是什幺形式,这要通过量子力学的理论结果与实验事实的比较来加以检验,从而决定是否被确认。

    (2)  对于力学量表示为算符,还应注意两点:

    a)  在量子力学中,每一个力学量都与一个算符相对应;

    b)  某个算符作用于波函数,就是把一个波函数或一个量子态,变换成另一个波函数或另一个量子态。

    (3)  读者可以记住一些常用的力学量的算符形式,这些算符是教材中的式(16-26) ~ (16-32),它们有些在列薛定谔方程时用到,有些在求相应力学量的平均值时用到。

    4. 本征函数、本征值和平均值

    (1)  本征值方程、本征函数和本征值:

    a)  若将某个力学量的算符作用于波函数,正好等于一个常量A乘以波函数,即

                          .

这类方程,就称为力学量的本征值方程,简称本征方程。例如,定态薛定谔方程

                        

就是能量的本征方程。

    b)  满足本征值方程的常量A,称为力学量的本征值。例如,不是所有的能量值在要求的物理条件下都能满足定态薛定谔方程这一本征方程,能满足定态薛定谔方程的能量值E就是哈密顿算符的本征值。

    c)  满足本征方程的波函数,称为力学量的与本征值A对应的本征函数(或称本征态)。例如,满足定态薛定谔方程这个本征方程的波函数y (r),就称为哈密顿算符的本征函数。

    (2)  在微观世界里,要得出粒子在某势场中的运动状态,就需要求解薛定谔方程,定态问题只需求解定态薛定谔方程就行了。所以,在处理具体问题时,只要知道粒子所处势场的具体形式和波函数所满足的边界条件,就可以从求解本征方程的过程中,得到本征函数和能量本征值的具体形式。这是量子力学的基本方法。

    (3)   力学量的平均值可以表示为

                     .

这就是说,要求力学量的平均值,应先将力学量算符作用于波函数,然后将所得结果与波函数的复共轭相乘,最后对体积积分。

    如果粒子所处状态是某力学量的本征态,那幺在这个量子态该力学量具有确定值,此确定值就是该本征态所对应的本征值。例如,如果是能量本征值E1的本征函数,根据上面所说,力学量E的平均值为

           .

可见,算符的本征函数所描述的态,就是算符所表示的力学量具有确定值的态,并且该确定值就是这些本征函数所对应的本征值。

    如果粒子所处的状态不是该力学量的本征态,那幺该力学量不具有确定值,而具有一系列可能值,这些可能值具有确定的概率分布,由概率分布就可以计算其平均值。

    5. 概率守恒和概率流密度矢量

    (1)  概率守恒的微分形式

                             ,

与电流连续性方程的微分形式

                            

完全相同,所以读者可以结合电流连续性方程去理解概率守恒的物理意义。

    (2)  由概率守恒的表达式可以得到,当粒子在空间某处的概率减小时,在别处的概率必然增加,总概率保持不变,同时必然伴随着有概率的流动,即存在概率流。

    (3)  概率守恒的的结论是由薛定谔方程导出的,前面已经说过,薛定谔方程是粒子运动的非相对论性波动方程,而在非相对论情况下,实物粒子没有产生和湮灭现象,在随时间演化过程中粒子数应该保持不变,所以概率守恒的成立是必然的。

       
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