四、一维谐振子问题(§16-4)

    1. 一维谐振子的定态薛定谔方程

    (1)  一维谐振子常用于处理诸如原子、分子的振动、黑体辐射、晶格振动以及量子场论中的场量子化等多种物理问题。一般说来,在稳定平衡态附近作振动的任何粒子系统,都可以作为一维谐振子处理。所以,一维谐振子是一个重要的物理模型。

    但是,与一维无限深势阱相比,一维谐振子在具体处理上涉及了较为复杂的数知识题,所以只要求读者根据教材的叙述对处理过程作定性了解。

    (2)  一维谐振子的势能可以表示为

                         ,

与时间无关,是定态问题。哈密顿算符可以写为

                       .

所以,一维谐振子的定态薛定谔方程为

                  .              (1)

    2. 一维谐振子的本征函数和能量本征值

    (1)  求解一维谐振子的定态薛定谔方程,可以得到一维谐振子的本征函数和能量的本征值。他们分别是

                                   (2)

                           

                                  (3)

上式表示,一维谐振子的能量只能取一系列分立值,并且相邻能级是等间距的,等于

    (2)  注意与经典观念不兼容的两个问题:

    a)  零点能量不为零;

    b)  不存在经典禁区。

       
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