五、氢原子(§16-5)

    本节包含了较多的数学方法问题。对此,首先大家的课程并不要求读者掌握这些数学方法,即使涉及了一些数学表述,也只要求读者从物理涵义上定性地理解它们。希翼读者理解和掌握以下内容。

    1. 有心力场中的薛定谔方程

    (1)  电子处于由原子核所提供的有心力场中的势能为

                          ,

与时间无关,可以用定态薛定谔方程求解。哈密顿算符应表示为

                        .

    (2)  定态薛定谔方程可以表示为

                            ,

  

                      .

(3)  利用分离变量和球坐标形式,将波函数表示为方位角波函数F (j)、极角波函数Q (q)和径向波函数R (r)三者的乘积,即

                 .

方位角波函数F(j) 所满足的方程是教材中的式(16-78),解的形式为

                           F(j) ~,

为保证波函数的单值性,要求m满足

m = 0, ±1, ±2,

    极角波函数Q(q) 所满足的方程是教材中的式(16-77),解的形式为

                          Q(q) ~.

为保证极角波函数Q(q)有限性,要求l 满足

                      l = l(l+1) ,  l = 0, 1, 2, ×××

并且 êm ê£ l ,即

                       m = 0, ±1, ±2, , ±l .

    将波函数的角度部分,即方位角波函数和极角波函数合在一起就是球谐函数,即

       .

    径向波函数R (r) 所满足的方程是教材中的式(16-76),此方程式的解作为波函数,还必须满足有限性束缚态条件的限定,于是就得到径向波函数

           ,

其中

                   

    综上所述,在求解氢原子波函数遵从的定态薛定谔方程的过程中,引入了一些常量,为使定态薛定谔方程的解满足波函数的单值性、有限性和束缚态等物理要求和限定,这些常量不能取任意值,而只能取某些特定值,这就出现了一些物理量的量子化。所以,在量子力学中,量子化不是“条件”,而是微观世界普遍现象和规律。

    2. 角动量的本征值和相应的量子数

    (1)  角量子数:由于球谐函数Ylm (q,j)是角动量平方的本征函数,所以角动量的本征值为

                   ,  

l就是角量子数,表示电子相对于原子核的角动量的大小。

   (2)  磁量子数:由于球谐函数Ylm (q,j)也是算符的本征函数,所以,算符的本征值为

                   m = 0, ±1, ±2, , ±l .

m就是磁量子数,表示电子轨道角动量的z分量的大小。

    3. 氢原子的能级

    在使波函数满足有限性和束缚态条件限定的同时,也得到了能量的如下表达式

                 

这表明,氢原子的能量只能取一系列分立值,而不能取任意值。上式就是氢原子的能级公式,与由玻尔量子论所得到的结果[(15-42)]完全相同。

    4. 描述氢原子状态的量子数和能级的简并度

    (1)  总结以上所述,氢原子的定态解应表示为

        ,

其中

                  主量子数 n = 1, 2, 3,

                  角量子数     l = 0, 1, 2, , n-1;

                  磁量子数     m = 0, ±1, ±2, , ± l .

本征函数ynlm 表示,在量子数分别为nlm时,氢原子所处的量子态。

    (2)  所谓能级的简并度,是指有多少个量子态对应于同一个能级的能量。由能级公式可以看到,本征能量En只决定于主量子数n,而与角量子数l和磁量子数m无关。对于任一主量子数n,能量本征值为En,对应的量子态有n2个。所以说,能级En的简并度为n2

    5. 类氢离子

    所谓类氢离子,就是由电荷数Z大于1的原子核与一个核外电子所构成的原子体系,如He+ Li++ Be+++等。对于这样的原子体系,只要对电荷作一下调整,即用

                         

替代e,上面处理氢原子的方法都可以用于处理类氢离子。

       
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