[例题分析]

    例题16-1  已知一维无限深势阱的定态波函数为

                       ,

试计算位置的平均值、动量的平均值和动能的平均值

      根据求力学量平均值的方法,首先应将力学量表示为算符,然后按下式求平均值:

                         .

    位置的平均值:

       

          ;

    动量的平均值:

         ;

    为计算动能的平均值,先计算动量平方的平均值,这是因为动能与动量之间存在下面的关系:

                           ,

其中m是粒子的质量。动量平方的平均值为

      

             

          .

由此可以求得动能的平均值,为

                         .

    例题16-2  已知一维谐振子的势能可以表示为,那么

    (1)  试证明波函数

                  

是一维谐振子的定态波函数;

    (2)  求此波函数所对应的量子数和能级。   

     

    (1)  要证明是一维谐振子的定态波函数,就要验证此波函数是否满足一维谐振子的定态薛定谔方程

                  ,

其中能量E必须是一维谐振子的本征能量。为此应先求出上述波函数的二阶导数,代入上式,求出能量E,并观察其形式是否与一维谐振子的本征能量形式相同,若相同,上述波函数就是一维谐振子的定态波函数。

              ;

  

          

           .

将上式代入一维谐振子的定态薛定谔方程中,得

                ,

              .

由上式求得

                        .

可见E确实是一维谐振子的本征能量,所以题目所给波函数是一维谐振子的定态波函数。

    (2)  一维谐振子的能级公式为

                          .

由上面所求得的本征能量表达式,可以得到

                       ,

以上两式项比较,显然n = 2。所以,题目所给波函数

                  ,

对应于量子数n = 2的能级。

    例题16-3  大家已经知道,当氢原子的量子数满足时,量子态的电子概率的径向分布具有球对称性,试证明其最概然半径rn与玻尔半径a之间存在rn = n2 a 的关系。已知当时,合流超几何多项式F = 1

      在量子数满足时,氢原子的径向波函数可以表示为

                      ,

电子概率的径向分布函数为

     .

最概然半径rn应由下式决定:

                         ,

                  .

由上式解得

                  ,

化简后得

                       

这就是教材中公式(16-121)所表示的结果。

    可以将上面所得的结果推广到类氢离子,只要用

                            

代替式中的a,即可得到

                             .

       
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