[习题解答]

    16-3  如果粒子的波函数为y (x, y, z),试求出在x~x+dxy~y+dyz~z+dz 范围内找到粒子的概率的表达式。

      在题意所述范围内找到粒子的概率为

                            .

    16-4  如果粒子的波函数为y (r, q, j ),试求:

    (1)  r~r+dr的球壳内找到粒子的概率;

    (2)  (q, j )方向上、在dW = sinq dq dj 立体角内找到粒子的概率。

     

    (1)  rr+dr的球壳内找到粒子的概率

                    .

    (2)  (q, j )方向上、在dW = sinq dq dj立体角内找到粒子的概率为

            .

    16-5  试写出下面两种情况下粒子的定态薛定谔方程:

    (1)  自由粒子;

    (2)  在有心力场中运动的粒子。

     

    (1)  自由粒子的动能为,写成算符为

                      .

因为在这种情况下,粒子的动能就是粒子的总能量E,所以定态薛定谔方程为

                          ,

                        ,

                        .

    (2)  当粒子在有心力场中运动时,粒子的能量应为

                          ,

式中A是与有心力场有关的常量,对于斥力场,A > 0,对于引力场,A < 0。哈密顿量应写为

                             .

将上式代入定态哈密顿方程的一般形式

                         

中,得

                     ,

整理得

                     .

    16-6  如果可以将氢原子看作无限深势阱,电子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氢原子的线度为10-10 m,试求电子处于基态和第一激发态的能量。

      根据无限深势阱的能量表达式(16-49),可以将电子的能级写为

                       

将有关数据代入上式,得

                            .

    基态

                             ;

    第一激发态

                              .

    16-7  如果可以将氘核看作无限深势阱,质子和中子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氘核的线度为10-14 m,试求质子和中子处于基态的能量。

      将质子和中子的质量()以及有关数据代入无限深势阱的能量表达式(16-49),可以得到:

    质子基态的能量为

                               ,

    中子基态的能量为

                               .

    16-8  在宽度为a的一维无限深势阱中,当粒子分别处于状态 y1 y2 时,发现粒子的概率最大的位置在何处?

      处于无限深势阱中粒子的本征波函数可以表示为

                    

    当粒子处于状态

                           

时,发现粒子的概率密度为

                            .

对上式求极值

                        ,

                                ,                           (1)

由此解得

                                 ,                             (2)

在势阱范围内,并使式(1)得到满足的m值只能是012。因为当m02时,x = 0a,波函数及其概率密度都等于零,对应于概率密度极小值。所以能满足概率密度极大值的只能是m = 1,此时

    当粒子处于状态

                           

时,发现粒子的概率密度为

                            .

对上式求极值

                       ,

                                ,

故得

                                  .

在势阱范围内,符合概率密度极大值条件的m13,即

                              .

    16-10  求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位置。

      一维线性谐振子波函数的一般形式为

                         ,

式中An是常量,可用归一化条件确定,在此与大家的题目无关。变量x由下式表示:

                            ,   

m是谐振子的质量。

    在第一激发态,,波函数为

                           .

对概率密度取极值

                      .

得到符合极大值条件的解为

                                ,

                             .

    16-11  试求处于基态的氢原子的平均半径,并与玻尔半径作比较。已知氢原子基态波函数为

                          .

      在基态波函数中,a就是玻尔半径a0。半径r的平均值可以表示为

            

               .

这表示,基态氢原子的平均半径等于玻尔半径的3/2倍,这是由于电子概率的径向分布的极大值正好处于玻尔半径a0处,并且在峰值两侧分布情况是不对称的,如教材中图16-8左上角第一幅图所表示的那样。

    16-12  试证明处于基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的2倍。

      处于基态的氢原子的势能可以表示为

                              ,

求其平均值

     

        .

其中

                            

是氢原子基态能量。所以,基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的2倍。

       
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