§17-1  原子的轨道磁矩和正常塞曼效应

         一、原子的轨道磁矩

         在经典物理学概念中,电子围绕原子核作轨道运动,因而产生一定的角动量;同时电子的圆周运动相当于一个圆电流,因而也就产生了一定的磁矩。下面大家用量子力学方法来分析氢原子中电子的绕核运动所提供的电流和相应的磁矩。

         电子的电流密度矢量应该等于电子的电量(-e)乘以电子的概率流密度矢量[即式(16-39)],所以处于氢原子定态ynlm 的电子的电流密度矢量可以表示为

              .      (17-1)

梯度算符在球坐标系中可以表示为

                   ,

式中 分别是三个方向的单位矢量。将上式代入式(17-1),就可以求出氢原子中由于电子的绕核运动所产生的电流密度矢量j的各个分量。由于波函数ynlm中只有方位角部分F(j)是复函数,其余两部分都是实函数,所以根据式(17-1),电流密度矢量只存在j 分量,其余两个分量都等于零,即

   

                                     ,               (17-2)

                      .                  (17-3)

                图17-1

由式(17-2)可以看到,jj j 无关,这表明jj 是以z轴为旋转对称轴的。又由于jr = jq = 0,大家不难想象,定态氢原子中电子运动形成环绕z轴并以z轴为旋转对称轴的电流圈,而且整个电流圈产生的磁矩的方向必定沿着z轴。

         为了计算氢原子定态时电子运动形成的电流圈所对应的磁矩,大家可以在电流圈内沿着电流方向取一个横截面为dS的电流圆环,如图17-1所示。电流圆环对应的电流为

                           dI = jj dS .

如果圆环上任意一点到原子核(点O )的距离为r,则电流圆环的半径为rsinq,圆环的面积为pr2sin2q ,所以该电流圆环所对应的磁矩为

               .

氢原子中电子运动产生的整个电流圈所对应的磁矩为

  

                      ,

式中dt = 2prsinq dS是整个圆环的体积。由于波函数ynlm (r,q,j)满足归一化条件,上式可化为

           .        (17-4)

式中

              ,            (17-5)

称为玻尔磁子,是原子磁矩的基本单位。式(17-4)所表示的磁矩是原子中电子绕核运动产生的,为与以后将要讨论的电子内禀磁矩相区别而称为轨道磁矩。式(17-4)表示,轨道磁矩在z轴方向的分量mlz只能取一系列分立值,而其中的最大值为

                        (mlz )max = lmB .                   (17-6)

         轨道磁矩与轨道角动量是相对应的,两者的z分量之比称为旋磁比,即

              .         (17-7)

gl 称为电子绕核运动的朗德(A.Lande, 1888-1975)因子。由上式可见,电子绕核运动朗德因子的值为

                            gl  = 1.                      (17-8)

       
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