二、电子的自旋(§17-2)

    1. 施特恩-格拉赫实验

    (1)  实验中使用的磁场为什么是不均匀磁场?

    带有磁矩为 m 的粒子若处于磁感应强度为B的匀强磁场中,将只受到力矩的作用。在这个力矩的作用下,粒子将绕自身的轴线转动,使磁矩沿磁场方向取向,而不会发生整体的位移。

    如果磁场是不均匀的,如教材中图17-4所示的情形,粒子除了受到力矩的作用外,还受到力的作用,这个力的方向沿磁场梯度的方向,力的大小可以表示为

                           .

所以粒子将沿力的方向(即磁场梯度的方向)发生位移,从而使银原子射线束沿力的方向发生偏转,m z值不同的粒子偏转的距离也不同。

    (2)  受磁场作用的原子磁矩为什么不是核外电子的轨道磁矩?

    用氢原子射线所作的实验是最能说明问题的,因为氢原子处于基态,l = 0,电子的轨道磁矩为零。即使是用钠原子射线或银原子射线作实验,原子射线源的温度在一千摄氏度上下,这样的温度是远不能将原子加热到激发态的,要加热到激发态,必须达到上万度。所以,在施特恩-格拉赫实验中,射线束中的原子都是处于基态的,l = 0,电子的轨道角动量为零,轨道磁矩也为零。所以,实验中受磁场作用的只能是电子轨道磁矩之外的什么磁矩。

    (3)  从施特恩-格拉赫实验的结果中可以得到哪些重要结论?

    a)  施特恩-格拉赫实验表明了原子在磁场中的取向是量子化的。原子在磁场中所受的力可以表示为

                       ,

式中a是磁矩与磁场方向之间的夹角。如果原子在磁场中的取向可以是任意的话,那么a就可以连续变化,照相板上将得到一片连续的黑斑(原子的沉积痕迹)。而事实上照相板上所得到的是上、下两条黑斑,表示只有两个m  z值,也就是只有两个a 值。所以,原子在磁场中只有两个可能的取向,这两个取向分别是a = 0°a = 180°

    b)  施特恩-格拉赫实验证明了,对原子磁矩有贡献的,除了核外电子的轨道磁矩之外,还必定有另一个来源,这就是电子的自旋磁矩。所以,施特恩-格拉赫实验证实了电子自旋磁矩的存在。

    c)  无论是用银原子射线,还是用钠原子射线、氢原子射线作实验,原子都只有一个价电子,实验结果都是由这一个电子的自旋磁矩引起的。根据上述第一条,电子的自旋磁矩在磁场中只有两个可能的取向,也就是电子的自旋角动量在磁场中只有两个可能的取向,于是可以得到电子的自旋量子数为s = 1/2,自旋磁量子数为ms = +1/2-1/2 。这也正是乌伦贝克和高斯密特关于电子自旋假设的实验依据。

    2. 电子自旋和自旋磁矩

    (1)  电子自旋的特点:

    a)  电子自旋角动量是电子固有的或内禀的角动量,这个角动量的大小是固定不变的,等于

    b)  与电子轨道角动量的空间量子化的性质一样,电子自旋角动量也具有空间量子化的性质,所不同的是,电子自旋角动量在磁场中只有两个可能的取向,即要么沿着磁场的方向,要么逆着磁场的方向。所以,自旋角动量在外磁场方向上的分量只有两个可能值,即

    c)  与电子轨道角动量对应着轨道磁矩一样,电子自旋角动量也对应着一个磁矩,这就是自旋磁矩,所不同的是,电子自旋的朗德因子gs 约为绕核运动的朗德因子g l的两倍。

    (2)  根据施特恩-格拉赫实验的结果和与轨道角动量相似的性质,得到了电子自旋量子数为

                              

以及自旋磁量子数为

                          .

    (3)  自旋的概念完全不能用经典的物理语言加以描述,电子自旋的存在也表明了电子不是一个经典观念中的带电粒子。自旋完全是一种相对论量子效应。

    (4)  自旋是一切微观粒子的一种基本属性。

    3. 碱金属原子光谱的精细结构

    (1)  所有的碱金属原子的每条光谱线不是简单的一条线,而是二条或三条线,这就是碱金属原子光谱线的精细结构。

    (2)  电子自旋概念的建立,使碱金属原子光谱的精细结构得到了圆满说明,所以,碱金属原子光谱的精细结构也可以看作是电子自旋存在的另一个实验依据。

    4. 自旋-轨道相互作用

    (1)  在碱金属原子中,自旋-轨道相互作用是如何产生的?

    在以价电子为静止的坐标系中,带有有效电荷Z*e的原子实以速度-v绕价电子作圆周运动,所形成的环状电流必定产生磁场,价电子的自旋磁矩m s必将受到这个磁场的作用。这种作用就是自旋-轨道相互作用,或称自旋-轨道耦合。

    (2)  自旋-轨道相互作用能是怎样表示的?

    根据教材中的推算,得到自旋-轨道相互作用能为

                      .

对于这个表示式应注意以下几点。

    a)  式中的SL分别是价电子的自旋角动量和轨道角动量。有的读者可能会产生这样的问题,即价电子的自旋磁矩受到由原子实产生的磁场的作用,而在这个相互作用能表达式中竟成了价电子自身的自旋角动量与自身的轨道角动量之间的作用,真有点不可思议。实际上这个问题是不难理解的,价电子相对于原子实的运动与原子实相对于价电子的运动是同一件事,只是在不同的参考系观察而已,况且在Els的表达式中包含了描述原子实的量(有效电荷Z*e)

    b)  要计算Els的平均值,必须对式中各项求平均值。在Els的表达式中除了(1/r3)(S × L)两个因子外,其余都是常量,平均值就是它们自身。(1/r3)(S × L)的平均值要用量子力学方法进行计算。

    教材中式(17-32)就是用量子力学方法求得 (1/r3) 的平均值的。

    根据量子力学的概念,如果粒子所处状态是某力学量的本征态,那么在这个量子态,该力学量具有确定值,此确定值就是该本征态所对应的本征值,也就是此力学量的平均值。所以计算力学量(S × L)的平均值,就是求它的本征值,教材中式(17-30)就是这样作的。

    将上述两个因子的平均值代入Els的表达式,最后得到教材中的公式(17-33),即

                ,

这就是Els的平均值的表达式。

    c)  的表达式中还包含了原子实的有效电荷数Z*,粗略看起来好像应有Z* = 1。对于氢原子,Z* = Z =1是严格成立的,但是对于碱金属原子,由于存在下面的原因,使它们不同于氢原子,有效电荷数Z*不严格等于1,有些碱金属原子甚至远偏离于1。这些原因之一是价电子引起原子实的极化,使价电子受到一种附加的引力作用;另一个原因是在原子实内也有价电子存在的概率,用经典概念来表述,就是价电子的轨道穿入原子实,或简单地称为轨道贯穿。当价电子处于穿入原子实那部分轨道时,对它起作用的有效电荷Z*就明显大于1

    (3)  自旋-轨道相互作用是怎样引起光谱线的精细结构的?

    显然,在没有自旋-轨道相互作用时,光谱线的精细结构是不存在的,对应确定的nl是一个确定能级,能量为Enl

    自旋-轨道相互作用的存在,在l ¹ 0的能级上附加了能量Els,由于j有两个可能值,即j = l ±1/2,能级将分裂为双层结构,其中较大j值的能级高于较小j值的能级。这就导致了光谱线的精细结构。

    5. 单电子体系的原子磁矩

    (1)  单电子体系(氢原子和碱金属原子)的特殊性就在于,一个价电子所处的状态就是整个原子所处的状态,原子的总磁矩就是价电子的总磁矩。所以单电子体系是最简单的原子体系。

    (2)  对于单电子体系的原子磁矩m j,教材中利用矢量图(即图17-6)作了清楚的阐述,这里要注意两个问题:

    a)  由于电子带负电,电子的自旋磁矩与自旋角动量方向相反,轨道磁矩与轨道角动量方向相反,但是总磁矩 m却不在总角动量J的反向延长线上,原因是gl ¹ gs

    b)  m l ms合成得到总磁矩m,由于m是绕J作拉莫尔进动(也称旋进)的,所以m沿垂直于J的延长线的分量的时间平均值为零,对外起作用的磁矩就是m沿总角动量J的反向延长线的分矢量m j,称为原子的有效磁矩,就是原子磁矩。

    6. 反常塞曼效应

    (1)  在弱磁场作用下原子光谱发生分裂的现象,称为反常塞曼效应。原子磁矩在外磁场作用下,将产生附加能量

                  .

原来简并的一个能级,在弱磁场作用下分裂为2j + 1个能级。这就是光谱线分裂的原因。

    (2)  反常塞曼效应中光谱线的分裂是由于原子磁矩与外加磁场作用的结果,所以只要原子磁矩不为零,就存在发生这种效应的可能性。因为原子磁矩可以表示为

                          ,

可见只要总角动量J不为零,原子磁矩都不会等于零。也就是说,只要是总角子数j ¹ 0的能级,都将会在弱磁场作用下发生分裂,而观测到反常塞曼效应。

       
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