§18-5  卡诺定理

         在§18-3中大家曾以理想气体为工作物质分析了卡诺循环的效率, 并得出

                            .

实际上这个公式具有更加普遍的意义,这一普遍意义是由卡诺定理来表述的。卡诺定理包括以下两方面的内容:

         (1) 在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切可逆热机,无论使用什么工作物质,其效率都相等,并可表示为

                            ;

         (2) 在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切不可逆热机,其效率都不可能超过可逆热机的效率,即

                            .                  (18-45)

         定理中所说的可逆热机,是在某个一定温度(T1)的热源吸热,对外界作功,同时又向另一个一定温度(T2)的热源放热。这样的热机必定是在由两条等温线和两条绝热线所组成的循环中工作,所以必定是卡诺热机。为了证明卡诺定理,大家假定有两部可逆卡诺热机K和K¢,都在高温热源T1和低温热源T2之间工作,在一个循环中分别从高温热源吸取热量Q1 ,向低温热源释放热量Q2Q2¢,并分别对外界作功AA¢,其效率分别为hh¢ 。假设h >h ¢ ,这时可令K¢机作逆循环,因为K¢机是可逆的,所以在一次逆循环中,外界对它作功A¢,它将从低温热源吸热Q2¢,并向高温热源放热Q1¢。如果K机作N周正循环对外界作功NA,正好等于K¢机作N ¢逆循环外界所作的功N ¢A¢, 那么应有下面的能量关系

                      ,

                       .

两式相减,得

                   .

上面已经假设h > h ¢ ,也就是

                         ,

由于NA = N¢ A¢,必定有N¢ Q1¢ > NQ1,于是可得

                  .    

这表明,在K机运行N周和K¢ 机运行N ¢周的情况下, 热量(N ¢Q1¢-NQ1)自动地从低温热源传向了高温热源。这显然违背了热力学第二定律的克劳修斯表述,所以上述假设h >h ¢不能成立,只可能有h ¢ ³ h。用同样的方法可以证明h ³ h ¢ 。这样就只能有h = h ¢。在上面的分析中K和K¢是任意的可逆卡诺热机,其中包括以理想气体为工作物质的可逆卡诺热机,既然已经证明了它们的效率都相等,当然就与工作物质无关。这就证明了卡诺定理的第(1)条。

         为证明卡诺定理的第(2)条,大家取K为可逆热机,而K¢为不可逆热机,并假设h ¢ >h。这时大家令K¢作正循环,K作逆循环,用与上述相同的方法可以证得h ³ h ¢ (由于K¢为不可逆热机,大家不能让它作逆循环,所以不能证得³ h ),已知可逆热机K的效率h可由式(18-43)表示,所以

                          ,

卡诺定理得证。

         卡诺定理给出了热机效率的极限值。从上面的讨论大家可以得出,高温热源的温度T1越高、低温热源的温度T2越低,热机的效率就越高。而低温热源的温度一般取环境温度最为经济。另外,还应使循环尽量接近卡诺循环,减少过程的不可逆性,如减少散热损失、漏气和摩擦等。

       
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