§18-9  统计物理学的基本概念

         一、粒子运动状态的描述

         从本节开始的以下几节中,大家将概括先容统计物理学的基本方法和规律。大家曾说过,统计物理学是关于热运动的微观理论,这个理论认为物质的宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现,宏观物理量是微观物理量的统计平均值。统计物理学的研究方法是从物质的微观结构出发,根据微观粒子所遵从的力学规律,利用统计方法,推导出物质系统的宏观性质及其变化规律。这里所说的粒子,就是组成宏观物质系统的基本单元,如分子、原子、电子或光子等。显然这些微观粒子的运动是遵从量子力学规律的,不过经典理论在一定条件下仍然是有意义的。大家知道,普朗克常量h(或h)的量纲是[时间][能量]或[长度][动量]或[角动量],这类物理量常称为作用量,而h(或h)也称为基本作用量子。h(或h)就为大家提供了一个判据:当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量的数值,可与h(或h)相比拟时,这个物质系统是一个量子系统,应由量子力学规律来描述;当具有作用量纲的物理量用h(或h)来量度数值非常大时,该系统是经典系统,可以用经典理论来描述。在还有些问题中, h(或h)与具有作用量纲的物理量相比是小量,微观粒子的波动性退居次要地位,可以认为粒子近似沿着经典力学的轨道运动,从而采用半经典描述较为简便。

         综上所述,对微观粒子运动状态的描述可以有量子描述,有经典描述,还有半经典描述。

         按照经典力学规律,具有r个自由度的粒子在任一时刻的力学状态可以用粒子的r个广义坐标q1 , q2 , …, qrr个广义动量p1 , p2 , …, pr 在该时刻的数值来确定。以这2r个变量作直角坐标所构成的一个2r维空间,称为相空间,或 m 空间;粒子在任意时刻的运动状态(q1 , q2 , …, qrp1 , p2 , …, pr )就是 m 空间中的一个点,称为粒子运动状态的代表点;当粒子的运动状态在随时间变化时,对应于代表点在 m 空间中移动,描绘出的轨迹称为相轨。

         根据量子力学的规律,微观粒子具有波粒二重性,不可能同时具有确定的坐标和确定的动量,坐标的不确定量 Dq和动量的不确定量 Dp满足不确定关系

                          .                   (18-84)

在量子力学中,粒子的运动状态称为量子态,量子态是用波函数来描述的,而波函数满足薛定谔方程,在定态情况下满足定态薛定谔方程

                         ,

其中n代表一组量子数,一组量子数的个数就是粒子的自由度数。en 是粒子的能量,在一般情况下粒子的能量取分立值,而形成能级,每个能级可能有一定的简并度。

         在半经典描述中,既认为粒子近似地沿经典力学轨道运动,用广义坐标q和广义动量p来描述,同时又对这种描述加上量子力学的限制,即坐标的不确定量 Dq 和动量的不确定量 Dp 满足式(18-84)。对于具有一个自由度的微观粒子,m 空间是以qp为直角坐标的二维平面。在这个二维平面上,粒子运动状态的代表点不再是一个点,而是面积为h的面元。这就是说,在二维 m 空间中,一个面积为h的面积元代表粒子的一个可能的运动状态。对于具有r个自由度的微观粒子,m 空间是一个2r维空间,粒子运动状态的代表点变成了一个体积为hr的体积元。这就是说,在2rm空间中,一个体积为hr的体积元代表粒子的一个可能的运动状态。这种体积为hr的体积元称为相格,m 空间的一个体积为hr的相格对应于微观粒子的一个可能的量子态。

         如果 m 空间中有一个体积为Dt 的体积元,那么在体积元Dt 内粒子的可能量子态数为Dt / hr

         三个自由度粒子的一个量子态对应于 m 空间中体积为h3的一个相格。坐标在xx+dxyy+dyzz+dz范围内,同时动量在pxpx+dpxpypy+dpypzpz+dpz范围内,粒子可能的量子态数应表示为

                        .                 (18-85)

如果粒子所处容器的体积为V,那么在体积V内,同时在动量范围pxpx+dpxpypy+dpypzpz+dpz,粒子可能的量子态数应为

                          .                 (18-86)

若采用球坐标,动量空间的体积元可以表示为p2sinq dpdq dj,这时在体积V内,动量的大小在pp +dp,动量的方向在q q +dqj j+dj 范围内粒子可能的量子态数为

                        .                 (18-87)

如果求在体积V内,动量的方向不限而动量的大小在pp+dp范围内粒子可能的量子态数,则应对上式中的qj 积分(q 的积分限是从0到pj的积分限是从0到2p),于是可得

                          .                     (18-88)

利用粒子的能量e 与动量p的关系式e = p2 / 2m,可以由上式求得在体积V内,在e e +de 能量范围内粒子可能的状态数

                        .                (18-89)

       
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