三、三种系统及其微观态数

        1. 可分辨的全同近独立粒子、且处于一个量子态上的粒子数不受限制的粒子系统,称为玻耳兹曼(L.E.Boltzmann, 1844-1906)系统。

         在经典物理学中,粒子是作轨道运动的,并且只要知道每个粒子在初始时刻的位置,原则上可以确定每个粒子在其后任意时刻的位置,所以尽管粒子是全同的,但原则上是可分辨的。粒子既然是可分辨的,系统中每个粒子就好像打上了标记一样可以识别,如果将任何两个粒子的运动状态加以交换,那么交换前后系统的微观运动状态就是不同的。

         要确定玻耳兹曼系统的微观状态,就必须确定每个粒子所占据的量子态。这就是说,在分布给定之后,还必须确定处于各能级 e l 上的是哪al个粒子,以及每个能级e l w l个量子态分别是由哪个或哪些粒子占据的。

         打了标记的al 个粒子在占据能级e l上的w l个量子态时,第一个粒子可以占据w l个量子态中的任何一个态,有w l 种可能的占据方式。由于一个量子态可以容纳的粒子数不受限制,在第一个粒子占据了某个量子态后,其余的任何一个粒子仍然有wl种可能的占据方式,所以al 个粒子占据w l个量子态共有 种可能的占据方式。对于一个确定的分布{al },其他能级也有同样的情况,所以共有 种占据方式。前面说过,对于玻耳兹曼系统,交换粒子将给出系统的不同状态。N个粒子进行交换,交换数为N !,在这些交换数中应除去在同一能级上al个粒子的交换数al !,由此得因子 。于是得到玻耳兹曼系统与一个确定的分布{al }相对应的微观态数为

                       .                    (18-91)

         在微观粒子运动状态的半经典描述中,微观粒子的每个可能的量子态对应于 m 空间中体积为hr的一个相格,如果Dwl是 m 空间中能量为e l的粒子所占据的相体积,则简并度w l可以表示为

                           .                    (18-92)

这样,由式(18-91)可以得到玻耳兹曼系统与确定的分布{al }相对应的微观态数的半经典表达式

                      .             (18- 93)

         2. 全同近独立的、且处于一个量子态上的粒子数不受限制的玻色子所组成的系统,称为玻色(S.N.Bose, 1894-1974)系统。

图18-21

         玻色子是不可分辨的。同时,玻色子不受泡利不相容原理的约束,处于同一量子态上的粒子数没有限制。所以,确定玻色系统的微观状态,归结为确定每个量子态上的粒子数。大家先来计算al 个粒子占据能级 e l上的 w l个简并量子态有几种可能的方式。让大家看图18-21,图中画出了10个粒子(用¬表示) 在5个量子态(分别用‚ƒ„…表示)上的分布:量子态上有2个粒子,上有1个粒子,ƒ上没有粒子,上有3个粒子,上有4个粒子。将量子态固定在最左端,其余的量子态和粒子的总数为(w l +al -1),共有(wl +al -1)! 种排列方式。由于粒子不可分辨,所以应扣除粒子之间的交换数al !,另外还应扣除量子态之间的交换数(w l -1)!。这样,al 个粒子占据能级e l上的w l个量子态就有(w l + al -1)!/al !(w l -1)! 种可能的方式。于是,大家就得到玻色系统与分布{al }相对应的微观状态数为

                      .                (18-94)

         3. 全同近独立的、且受一个量子态最多只能由一个粒子占据限制的费米子所组成的系统,称为费米(E.Fermi, 1901-1954)系统。

         费米子是不可分辨的。同时,费米子受到泡利不相容原理的约束,一个量子态最多只能容纳一个粒子。所以,确定费米系统的微观状态,归结为确定被粒子占据的量子态。al个粒子占据能级e l上的w l个简并量子态有多少种可能的方式,相当于从wl个量子态中挑出al个来由粒子去占据(应有wl ³al ),有w l !/al ! (w l -al )!种可能的方式。于是就得到费米系统与分布{al}相对应的微观状态数为

                       .                         (18-95)

         上面得出的三种系统微观态数表达式,分别与各自系统的一定分布{al }相对应,而一定的分布{al}是满足各自系统的一定宏观约束条件[式(18-90)]的,是与各自系统的一定宏观态相对应的。由此可以看到,系统所处的任一宏观态(即各宏观物理量具有确定值的热力学平衡态)都对应着系统的大量可能的微观态,并且由于粒子之间的相互作用和热运动,系统的这些可能微观态之间在不断地发生着极其复杂的变化。

         前面大家曾经说过,物质系统的宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现,宏观量是微观量的统计平均值。所以为了研究物质系统的宏观性质,只要知道各个微观态出现的概率,就可以用统计方法求得微观量的统计平均值。那么相应于同一宏观态的各个微观态出现的概率究竟是怎样的呢? 显然,这是统计物理学中的一个根本问题。

       
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