§18-10  玻耳兹曼统计

         一、玻耳兹曼系统的最概然分布——玻耳兹曼分布

         根据等概率原理,在孤立系统的平衡态中,各个可能的微观态出现的概率都相等,那么包含微观态数最多的分布出现的概率必定是最大的,而出现概率最大的分布,必定与系统所处的宏观态相对应。出现概率最大的分布称为最概然分布,玻耳兹曼系统粒子的最概然分布, 称为玻耳兹曼分布。对玻耳兹曼系统的微观态数表达式(18-91)求极值,就可以得到玻耳兹曼分布。下面对此进行扼要叙述。

         先对式(18-91)取对数,得到lnWBM的表达式,lnWBM为极大的分布{al }应该满足

                           .                    (18-96)

然后利用拉格朗日待定乘子法求解由此得到的方程式,结果为

                          .                   (18-97)

这就是所要推导的玻耳兹曼分布,也称为麦克斯韦-玻耳兹曼分布,表示处于能级e l上的粒子数。式中的a b 称为拉氏乘子,可由宏观约束条件[式(18-90)]确定,其中a 可由下式求得

.                (18-98)

于是可将玻耳兹曼分布化为

                        .                 (18-99)

式中

                              .                    (18-100)

       
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