二、麦克斯韦速度分布律

    现在大家运用玻耳兹曼分布研究处于平衡态的气体系统中分子热运动平动速度的规律,并得出气体分子平动的麦克斯韦速度分布律。

    根据玻耳兹曼分布[式(18-99)]以及式(18-92),可以得出玻耳兹曼分布的半经典表达式

                        ,              (18-101)    

式中Dw lm 空间中能量为el的粒子所占据的相体积。上式所表示的是在m空间体积元 Dw l内分布的分子数。 r是分子的自由度,对于分子的平动,r = 3。在无外场作用时,可用分子的平动动能

                                  (18-102)

代替粒子的能级e l,并取dw为在 m 空间中一个宏观上无限小的体积元, 即

                     .            (18-103)

设系统的体积为V,包含的粒子总数为N,则在体积V内、在dpxdpydpz动量范围内粒子质心平动的状态数应由式(18-86)表示,即

                         ,

将以上诸关系代入式(18-101),并将al写为dN,这样,在体积V内,粒子动量在pxpx+dpxpypy+dpypzpz+dpz范围内的粒子数可以表示为

          .      (18-104)         

式中a可由总粒子数为N的宏观约束条件来确定,即由

             

解得

                       .               (18-105)

将上式代入式(18-104),可以得到平动动量在pxpx+dpxpypy+dpypzpz+dpz范围内的分子数为

     

               .   (18-106)

若以分子平动速度v (vx , vy , vz )为自变量,则可将动量的表达式

                

代入式(18-106),可以得到在dvx dvy dvz 范围内的分子数

      .  (18-107)

若用n = N/V表示单位体积的分子数,则在单位体积内,速度处于vxvx +dvxvyvy +dvyvzvz +dvz范围内的分子数为

       

                    ,    (18-108)

这就是反映平衡态气体系统分子平动速度分布规律的麦克斯韦速度分布律,其中

                ,     (18-109)

称为速度分布函数。

         引入速度空间的球坐标(r, q, j),以体积元v2 sinq dvdq dj 代替体积元dvx dvy dvz,并对q j 积分,就得到在单位体积内、速率处于vv+dv范围内的分子数为

              .                (18-110)

分布函数为

                ,        (18-111)

这正是大家在第九章中早已熟悉的麦克斯韦速率分布律。

       
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