三、在重力场中粒子按高度的分布

         在重力场中,粒子不仅有动能

                      ,

而且还具有重力势能

                           .

粒子的数密度n随空间位置的不同而改变,所以是xyz的函数。粒子的总数N应表示为

                       .                 (18-112)

根据宏观约束条件,总粒子数也可以表示为

                ,           (18-113)

式中粒子的能量e 应等于动能ek与势能ep之和。比较以上两式,可得

    

     .

上式可以改写为

                         .                      (18-114)

式(18-114)就是在保守场中粒子按势能的分布公式,式中

                       ,

可以认为是在势能为零(ep = 0)处粒子的数密度。

         在不受外场作用的气体系统中,分子均匀地分布在它所能到达的整个空间。但在重力场的作用下,分子在空间的分布变得不均匀了,分子数随高度的增加而减少。将分子在重力场中的势能形式代入式(18-114),就得到分子按高度的分布公式

                         .                    (18-115)  

根据这个公式,在高度z = 0的水平面上,n = n0 ,所以n0 就是在高度为零处粒子的数密度。若用气体分子的质量m乘以式(18-115),就得到分子质量密度随高度变化的公式

                         ,                 (18-116)

式中r 0是高度为零的水平面上气体的质量密度。

         根据在气体动理论中得到的压强关系p = nkT,可将式(18-125)化为地面附近气压随高度变化的公式,称为等温气压公式

                   ,          (18-117)

式中p0是高度为零处的气压,m 是气体的摩尔质量。这个公式表示,随高度的增加,气压按指数减小。利用这个公式可以估计不同高度的大气压强,条件是必须保证不同高度处的气温相同,但实际上这是不可能的。所以这种估计只有在高度变化不大的情况下才是正确的。公式(18-117)更多地被用于在登山和航空时估计上升的高度。将式(18-117)取对数,可以得到高度z与大气压强p的关系

                          ,                 (18-118)

测出所在高度的压强p,即可估计所在高度z

       
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