二、光子气体

    用不透明材料做成的、带有小孔的空腔,此空腔的小孔可以看成绝对黑体的表面。因为通过小孔射入空腔的电磁波需经多次反射才有可能从小孔射出,而每次反射腔壁都要吸取一部分电磁波,以致最后从小孔射出的电磁波的强度变得十分微弱了(见第十五章图15-1)。所以空腔的电磁辐射就是黑体辐射。光子是玻色子,空腔的辐射场可以看作是光子气体系统,遵从玻色分布。

         光子的自旋量子数为1,自旋在动量方向的投影可取±h两个可能值,分别相当于右、左圆偏振。由于光子的静止质量为零,根据相对论关系

                        e2 = m02 c4 + c2 p2 ,

可以得到光子的能量与动量的关系

                            e = cp ,                    (18-130)

式中c是真空中光速。另外,光子还应满足德布罗意关系

                       e = hw ,   p = h k ,               (18-131)

式中k是波矢量,w 是光的角频率。由于光子气体达到平衡态时化学势为零,所以a = -m /kT = 0。于是光子气体的分布应为

                        .                   (18-132)

         利用式(18-88),并考虑到左、右圆偏振两种状态,在体积为V的空腔内、动量在pp+dp范围内光子的量子态数为

                          .

利用关系式(18-130)和式(18-131),可将上式化为在体积为V的空腔内、角频率在w w +dw 范围内光子的量子态数,为

                         .

用上式代替式(18-132)中的简并度w l ,就得到在体积为V的空腔内、角频率在w w +dw 范围内的平均光子数,为

                        .

由此可以得到在体积为V的空腔内、角频率在w w +dw 范围内辐射场的能量为

       .     (18-133)

上式给出了辐射场的能量按频率的分布,与实验结果完全一致。此式称为普朗克公式,是普朗克在1900年用与大家这里完全不同的方法推得的,并首次引入了能量量子化的概念。大家在这里运用量子统计的方法很容易地得出来了。

         式(18-133)与在§15-1中的普朗克公式(14-10)看上去有很大差异,实际上是一致的。式(18-133)是表示辐射场能量按频率的分布,而式(14-10)则表示黑体的单色辐出度与辐射的波长、温度的关系,这两者并不是一回事。但是,这两者是有密切联系的,可以证明,辐射场能量密度按波长的分布rl (T )与其单色辐出度Ml (T )存在下面的关系

                        .                 (18-134)

所以,要判断式(18-133)是否与式(14-10)一致,应将辐射场能量按角频率的分布转换为辐射场的能量密度按波长的分布,然后再利用式(18-134)得到空腔通过小孔的单色辐出度,即黑体的单色辐出度。

         利用关系w = 2pn 马上可以由式(18-133)得到

             .       (18-135)

利用关系式

                   ln = c   和   ,

并考虑到rn dn = -rl dl,式(18-135)可以化为

                     .           (18-136)

将上式代入式(18-134),考虑到绝对黑体,符号Ml (T)应改为Ml 0 (T),于是就得到

                   .         (18-137)

这正是§15-1中的普朗克公式(15-10)。下面讨论的维恩公式和瑞利-金斯公式要与§15-1中的相应公式进行比较,也必须作上述变换。

         下面让大家讨论两种极限情况。

         在高频范围,hw /kT >>1,这时 ,式(18-133)成为

                 ,           (18-138)

与§15-1中的维恩公式一致。由该公式可以得到,U (w , T )随w 的增大而迅速趋于零,这说明在温度为T的平衡辐射中,空腔内几乎不存在hw /kT >>1的高频光子,因而也就几乎不可能发射这样的高频光子。

         在低频范围,hw /kT << 1,这时 ,式(18-133)成为

                   ,             (18-139)

这与§15-1中的瑞利-金斯公式一致。

         由普朗克公式(18-133)可以看出,辐射场的能量随频率w 的分布存在一个极大值,极大值所对应的角频率w m满足

                         ,                  (18-140)

上式表示了辐射场能量极大值所对应的角频率wm与温度T的关系,这就是大家在§15-1中已经熟悉的维恩位移律。

       
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