*三、玻色-爱因斯坦凝聚

         当玻色系统的温度低于某特定温度TC时,粒子向零能级(e 0)聚集的现象,称为玻色-爱因斯坦凝聚,TC称为凝聚温度。为简便起见, 大家就在由自旋为零的粒子组成的理想玻色气体系统中讨论玻色-爱因斯坦凝聚问题。

    粒子遵从玻色分布,处于能级el的粒子数为

                     .

对于任一l值,al 都不可能为负值,也就是必定有 , 如果零能级的能量为零,即e 0 = 0,那么必定有

                           m £ 0.                      (18-141)

化学势 m 是温度T和粒子数密度n = N /V的函数,可由下式确定

                   .           (18-142)

由上式可见,在粒子数密度给定的情况下,温度越低,m 就越大,也就是m越趋近零。于是大家可以定义一临界温度TC (就是前面所说的凝聚温度),当系统的温度降至TC时,m 达到零。这时大家将式(18-142)的求和号改为积分,并将式(18-89)代入,可得

                    .         (18-143)

积分上式,就可以求得凝聚温度,为

                     .            (18-144)

         现在来讨论T < TC时的凝聚现象。若将式(18-143)中的TC改为T,即

                  ,               (18-145)

此式是否就是在T < TC时系统的总粒子数密度呢?尽管此时m可以取零,但是由于式中包含了因子e 1/2,当e = 0时,得到的结果为零,表示零能级没有粒子,这显然是不对的。问题出在把式(18-142)的求和号改为积分时,无意中将e = 0的项丢弃了。所以式(18-145)只表示处于e > 0能级的粒子数密度,故应改写为

              

总粒子数密度应该在上式中再加上零能级e0的粒子数密度n0(T),即

,       (18-146)

从中解得

图18-23

   .    (18-147)

上式表示了在系统的温度T < TC时零能级粒子数密度n0随温度的变化。n0随温度的变化用图线表示于图18-23中。由式(18-147)和图18-23可以看到,在T < TC的范围内,随着温度的不断降低,零能级上的粒子数将不断增加,即粒子不断向零能级聚集,这就是玻色-爱因斯坦凝聚。处于零能级的粒子不仅能量为零,动量和熵也等于零,所以玻色-爱因斯坦凝聚也称为动量空间的凝聚。

         在T <TC时系统的内能是处于e >0能级的粒子的能量之和,即

,

由此可以求得系统的定体热容,为

                .         (18-148)

图18-24

图18-24画出了CV 随温度的变化。图中表示,在T < TCCVT 3/2的规律随温度的上升而增大,在T = TCCV 达到最大值1.925Nk,在T >TCCV 趋于按能量均分定理所得的值1.5Nk

图18-25

自然界的氦有两种同位素,即 ,而在大气中 的含量极少,所以通常所说的液氦就是指液态的 。氦是单原子分子, 原子的总自旋为零,是玻色子。液态 在温度T = Tl (= 2.17 K)附近会发生奇特的变化:在T >Tl 时, 为正常液体,而在T < Tl 时, 具有超流性,即能够流过毛细管或狭缝而不表现任何粘性。其热容在Tl附近随温度的变化如图18-25所示,因曲线形状像l,所以在此温度发生的变化称为l 相变。将 的数据(原子质量m = 6.65´10-27 kg、摩尔体积Vm = 27.6´10-6 m3×mol-1)代入式(18-144)可以求得 的凝聚温度Tc = 3.13 K,与其Tl 接近。所以人们猜测, l 相变可能是玻色-爱因斯坦凝聚的实验证明,可能是在粒子之间存在相互作用情况下发生的玻色-爱因斯坦凝聚。

       
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