*五、晶格振动 ¾- 声子以及元激发的概念

         在固体中,由于原子之间的距离很小,所以彼此间具有强烈的相互作用,致使每个原子都在自己的平衡位置附近作微振动。用统计物理学处理这种具有强烈相互作用的多体问题,可以说是十分困难的。朗道根据量子理论引入了元激发的概念,使这类问题的处理大为简化。具有强烈相互作用的多体系统(固体中的原子就属于这种系统)受到低能激发(在低温下固体中原子的热振动就属于这种激发),相当于由具有一定能量和动量的准粒子组成的理想气体系统,这种准粒子就属于元激发,称为声子。对于处理这样的准粒子理想气体系统,统计物理学则是驾轻就熟的。

    所以,应先将固体中原子的热振动问题转化为由声子这样的准粒子组成的系统的问题。

         固体中的处于强烈相互作用的每个原子有三个振动自由度,如果固体中有N个原子,则整个固体有3N个自由度。由于原子的热振动是在平衡位置附近的微振动,可以利用线性变换方法,将原子在3N个自由度上的坐标变化,变换为3N个简正坐标的变化。因为简正坐标是将全部原子的坐标作线性组合所得到的一种集体坐标,3N个简正坐标中的任意一个都与全部原子的坐标有关。于是就得到用这3N个简正坐标的变化所表示的相互独立的3N个简谐振动,这3N个简谐振动中的每一个,都称为简正振动, 其3N个特征角频率wi称为简正角频率。3N个简正振动中的任意一个都不表示某个原子的振动,而都是所有原子共同参与的振动,称为一个简正模。由于晶格的周期性,晶格的简正振动具有波的形式,因而称为格波。

         根据大家在§16-4用量子力学对一维谐振子的计算结果,谐振子的能量为

                               (18-155)

式中ni是描述第i个简正模的量子数。根据上式,可以进一步认为:

         (1) 具有某一角频率wi并处于量子数为ni的激发态的简正模,相当于ni个能量为hwi的声子;

         (2) 不同简正模,具有不同的角频率,从而具有不同的能量和动量,对应于不同量子态的声子,而处于该量子态的声子数,则决定于该量子态所对应的能级;

         (3) 如果简正模由某一能级降至低一个能级,量子数减小1,相当于系统中减少了或消失了一个声子,相反,如果简正模由某一能级升至高一个能级,量子数增加1,相当于系统中增加了或产生了一个声子。

    于是,固体中的格波波场就可以看成理想声子气体系统。由于声子的自旋为零,属于玻色子,所以理想声子气体系统遵从玻色统计。然后利用玻色统计求得声子系统的内能,并由内能得到固体的热容。

    对于声子气体,化学势m = 0,谐振子的能级简并度w l = 1,按照玻色分布,当系统的温度为T时处于能量为hw i的一个量子态上的平均声子数可以表示为

                       .                  (18-156)

每个声子的能量为hw i,理想声子气体系统的内能可以表示为

      ,  (18-157)

式中f 0是所有原子都处于各自的平衡位置时原子间的相互作用能,U0 =f0 +åhwi /2就是大家在§9-8中讲过的晶体的结合能。

    在高温下,内能和热容可分别由下式表示

                       ,                (18-158)

                     .               (18-159)

这正是由经典统计理论得到的杜隆-珀替定律。

    在低温下,内能和热容分别为

                      ,             (18-160)

                  .         (18-161)

式中QD = hwD / k是表示物质热学性质的特征参量,称为德拜(P.J.W.Debye, 1884-1966)温度,而w D称为德拜频率,是3N个简正振动中最大的角频率。式(18-161)表示,在低温下CVT 3成正比,这个规律称为德拜T 3定律。对于非金属固体,实验结果与式(18-161)相一致;对于金属,在3 K以上遵从T 3定律,而在3 K以下还必须考虑自由电子对热容的贡献。

         上面大家概述了用元激发的概念将晶格热振动转化为由声子组成的理想气体系统,然后用量子统计方法求得固体的热力学性质的基本思路和结果。实际上这仅是元激发概念应用的一个方面。根据统计特征,元激发可以分成玻色型和费米型两种。玻色型元激发多为集体激发,其中有:(1) 离子-离子相互作用导致的晶格振动量子¾-声子,这是对平衡位置偏离的集体运动,大家前面讨论的就属于这种情形;(2) 在磁性材料中自旋-自旋相互作用导致的自旋波量子 ¾- 磁波子,这是对饱和磁矩偏离的集体运动;(3) 金属中相互作用电子气体的等离体集体振荡量子 ¾- 等离激元,以及绝缘体或半导体中电子-空穴对形成的激子等。费米型元激发主要是个别激发,如正常金属中相互作用的电子变换成屏蔽电子或准电子,离子晶体中电子或空穴在运动时带着周围极化场一起运动而形成的极化子,半导体中的电子和空穴等。可见,元激发的概念已经应用于固体物理的诸多方面。所以,对元激发的研究已经成为凝聚态物理学的重要组成部分,已经成为固体理论的核心内容。

         应该注意的是,元激发的概念适用于具有强烈相互作用的多体系统受到低能激发的情形。就拿晶格热振动来说,随着温度的升高,声子之间的相互作用增大,当这种相互作用增大到一定程度,声子系统就不能再看为理想气体系统了,声子作为元激发或准粒子的概念也就失去了意义。另外,元激发的上述应用实例,无论是集体激发还是个别激发,都是以无限大周期结构为背景的,如何将原始的元激发概念推广和应用于非周期体系、低维体系和细小体系,还有待进一步探讨和研究。

       
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