九、统计物理学的基本概念(§18-9)

    1. 粒子运动状态的描述

    (1)  对粒子运动状态的三种描述方法

    a)  如果粒子遵从经典力学的运动规律,由这样的粒子组成的系统就是经典系统,可以用经典理论来描述;

    b)  如果粒子遵从量子力学的运动规律,由这样的粒子组成的系统就是量子系统,应由量子力学的规律来描述;

    c)  尽管从原则上说,对于微观粒子的运动应该采用量子力学的方法来描述,但是在统计物理学所处理的一些问题中,采用介于以上两种描述方法之间的半经典的描述方法,会使所处理的问题比较简便。因而半经典描述方法是统计物理学中使用的基本方法。

    所谓半经典描述,就是一方面近似地用广义坐标和广义动量来描述微观粒子的运动状态,同时又对这种描述加上了量子力学的限制。

    (2)  粒子运动状态的半经典描述

    a)  如果粒子具有r个运动自由度,那么任一时刻的运动状态可由r个广义坐标qi (i = 1, 2, , r)r个广义动量pi (i = 1, 2, , r)在该时刻的值来确定,由广义坐标和广义动量所构成的2r维空间,称为相空间。

    b)  粒子在任一时刻的状态,在相空间中就是一个点,即相点;粒子状态随时间的变化,在相空间中就描绘了一条曲线,这条曲线就是相轨。

    以上两条都是经典力学中的概念,下面要加上量子力学的限制。

    c)  根据不确定关系,某个方向的坐标的不确定量与该方向的动量的不确定量的乘积满足

                             ,

所以,上述粒子的运动状态(量子态)在相空间中不是一个点,而是一个体积为h r的体积元,这个体积元称为相格。

    d)  在相空间中,体积为Dt 的体元内所包含的可能量子态数为Dt / h r

    2. 系统微观运动状态的描述

    (1)  大家所讨论的系统仅限于由全同的和近独立的粒子组成的系统。

    a)  所谓全同粒子,就是组成系统的粒子是具有完全相同属性的同类粒子;

    b)  所谓近独立粒子,就是指系统中的粒子之间相互作用很弱,相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量,因而系统的能量可以表示为单个粒子的能量之和。近独立粒子之间的相互作用很弱而不是完全没有,否则粒子各自独立地运动,系统就无从达到热力学平衡状态了。

    (2)  系统在某时刻的微观运动状态,就称为系统的微观态,就是组成系统的N个粒子在该时刻的运动状态。

    (3)  而要确定组成系统的N个粒子的运动状态,可以分两步进行:

    a)  第一步是得出每个能级e l上的粒子数al,即确定系统中的N个粒子分布在各个能级上的可能方式,其中任一种分布方式可用符号{al }来表示;

    b)  第二步是对应于每种分布{al },确定每个能级上的al个粒子对其w l个量子态的占据方式。

    相应于一种分布{al },系统的微观态数一般是很多的,并且对于由不同性质粒子组成的不同系统,每个能级上的al个粒子对其w l个量子态的占据方式是有很大差异的,所以此微观态数也有显著差异,有必要对不同的系统分别加以讨论。

    3. 三种系统及其微观态数

    (1)  玻尔兹曼系统

    a)  这种系统是由可以分辨的、全同近独立的、且处于一个量子态上的粒子数不受限制的粒子所组成的。

    b)  要确定玻尔兹曼系统的微观态,在分布给定之后,还必须确定处于各个能级 e l 上的是哪al个粒子,以及每个能级e l w l个简并量子态分别是由哪个或哪些粒子占据的。

    c)  与分布{al }相对应的微观态数可以表示为

                          .

    (2)  玻色系统

    a)  这种系统是由不可分辨的、全同近独立的、且处于一个量子态上的粒子数不受限制的玻色子所组成的。

    b)  确定玻色系统的微观态,归结为确定每个量子态上的粒子数,即在分布给定之后,还必须确定每个能级 e l上的al个粒子对 w l个简并量子态的各种可能的占据方式。

    c)  与分布{al }相对应的微观态数可以表示为

                          .

    (3)  费米系统

    a)  这种系统是由不可分辨的、全同近独立的、且受一个量子态最多只能由一个粒子占据限制的费米子所组成的。

    b)  确定费米系统的微观态,归结为确定被粒子占据的量子态,即在分布给定之后,还必须确定每个能级 e l上的 w l个简并量子态中有al个量子态被占据的所有可能方式。

    c)  与分布{al }相对应的微观态数可以表示为

                          .

    (4)  以上三种系统的微观态数表达式是分别与各自系统的一定分布{al }相对应的,而分布{al }又是与各自系统的一定宏观态相对应的。那么系统所处的宏观态与各自系统在一定分布{al }下的微观态数之间有什么关系呢?

    不难想象,假如系统任何一个微观态出现的概率都相同,那么包含微观态数最多的那种分布{al },出现的概率必定是最大的,而出现概率最大的分布{al },必定是与系统所处的宏观态相对应的。这样,下面的问题就是分别对三种系统求出微观态数最多的那种分布{al },即最概然分布。

    4. 等概率假设

    (1)  系统的宏观态就是宏观物理量具有确定值的热力学平衡态。相应于同一个宏观态,系统可以有大量的、各种不同的微观运动状态,其中的每一种就是系统的一个微观态。当系统处于一定宏观态时,其微观态仍然是不确定的,而且是在不断地变化着的,这些微观态各以一定的概率出现,成为统计方法中的偶然事件或随机事件。

    (2)  统计物理学认为,在一定宏观条件下,系统整体的行为和特性是大量微观粒子运动的集体表现,宏观物理量是相应的微观物理量的统计平均值。所以,尽管系统的某一微观态的出现完全是偶然事件,而整个系统的行为和特性却是确定不变的。

    所以,为了确定系统的宏观特性,只要知道各个微观态出现的概率,就可以用统计方法求出微观量的统计平均值。这样看来,确定各微观态出现的概率就成了统计物理学中带根本性的问题。

    (3)  处于平衡态的孤立系统,其各个可能的微观态出现的概率是相等的。这就是等概率假设,是统计物理学中基本的也是惟一的假设,是平衡态统计物理学理论的基础和出发点。

    这个简单的假设,看起来又是十分合理的。上面说过,相应于同一个宏观态,系统可以有大量的各种不同的微观态,而这大量的微观态都满足相同的宏观条件,因此,大家没有理由认为其中任何一个微观态会比其他微观态出现的概率更大些。

    (4)  既然各个可能的微观态出现概率都相等,那么包含微观态数最多的那种分布出现的概率必定是最大的,而出现概率最大的分布,必定与系统所处的宏观态相对应。

       
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