十一、玻色统计和费米统计(§18-11)

    1. 玻色系统和费米系统的最概然分布

    (1)  利用与推导玻尔兹曼分布相同的方法可以得出玻色系统和费米系统的粒子最概然分布,这两种系统的粒子最概然分布表示为

                          ,

式中减号是玻色系统的粒子最概然分布,加号是费米系统的粒子最概然分布。上式给出了,在孤立的玻色系统和费米系统中,处于平衡态时分布于能级e l上的粒子数。

    (2)  最概然分布表达式中的a b 也是由宏观约束条件[即教材中的式(18-90)]确定的,然而确定的步骤涉及了超出大家课程要求的热力学方法,故不作要求,只承认所得结果就够了。所得结果是

                        .

    2. 光子气体

    在学习这部分内容时,应熟练掌握以下几点。

    (1)  由玻色分布[教材中式(18-132)]

                           ,

按照教材中给出的步骤,得到在体积为V、角频率在w ~ w +dw范围内辐射场的能量表达式[教材中式(18-133)]

                     .

    (2)  由式(18-133),按照教材中给出的步骤,得到黑体的单色辐出度表达式[教材中式(18-137)]

                     .

    (3)  由辐射场的能量表达式[教材中式(18-133)],在高频近似和低频近似条件下分别得到维恩公式[教材中式(15-8)]和瑞利-金斯公式[教材中式(15-9)]。让大家分别加以推导。

    a)  在高频条件下,可以由教材中的式(18-133)得到式(18-138)。用辐射场体积V除以式(18-138)等号两边,并将角频率化为频率,得

                     ,

利用关系式n = c /ldn = -cdl /l2,将频率化为波长,上式可化为

                     .

根据关系式rn dn = -rl dl,由上式可得

                 ,

所以

                         .

于是就得到

                    ,             (1)

                        ,

将上式代入式(1),得

                          .                   (2)

这正是维恩公式在§15-1中的形式[即教材中式(15-8)]

    b)  在低频条件下,可以由教材中的式(18-133)得到式(18-139)。用辐射场体积V除以式(18-139)等号两边,并将角频率化为频率,得

                         ,

利用关系式n = c /ldn = -cdl /l2,将频率化为波长,上式可化为

                         .

根据关系式rn dn = -rl dl,由上式可得

                    ,

所以

                           .

于是就得到

                      .                 (3)

这正是瑞利-金斯公式在§15-1中的形式[即教材中式(15-9)]

    3. 玻色-爱因斯坦凝聚

    (1)  有的读者会提出这样的问题:教材中式(18-145)的积分是从e = 0积到e = ¥,其中包含了e = 0的项,为什么教材中却说“在把式(18-142)的求和号改为积分时,无意中将e = 0的项丢弃了”?

    教材中式(18-142)的求和是表示对所有能级的粒子数求和,而此式并没有给出每个能级上到底有多少个粒子,当然也包括没有给出e = 0的能级上有多少个粒子。

    将求和号改为积分后,情况就不同了。在e = 0时,式(18-145)中被积函数的分子和分母都等于零,根据高等数学中的洛必达法则,该函数的值是等于零的。这就是说,式(18-145)已经明确地告诉大家,在把式(18-142)的求和号改为积分后,也把在e = 0能级的粒子数变为零。

    实际情况是,在温度足够高时,处于e = 0的能级的粒子数与总粒子数相比是个小数,可以忽略。而在低温时,粒子将尽可能占据最低能态,由于一个量子态的所能容纳的玻色子不受限制,当达到绝对零度时,玻色粒子将全部处于e = 0的最低能级。

    所以大家说,在把式(18-142)的求和号改为积分时,无形中将处于e = 0能级的可观量的粒子丢弃了。当然,必须将这部分粒子添上去,正如教材中式(18-146)所表示的那样。

    (2)  关于化学势m的取值:教材中已经证明

                             m £ 0 ,

并定义,当系统的温度降至Tc时,m达到零。有的读者会问:为什么在系统的温度处于T < Tc时也可以取m值为零?

    凝聚温度Tc一般是很低的,例如,对于,若把 l相变看作是玻色-爱因斯坦凝聚,则Tl = 2.17 K,而理论分析得到Tc = 3.13 K。所以,在Tc > T > 0的狭小温度范围内,可以认为m等于Tc时的值。

    (3)  反映玻色-爱因斯坦凝聚的重要关系式[教材中式(18-147)]是如何得到的?

    将式(18-145)简化,得

           ,        (1)

其中

                  .

另外           

           ,       (2)

其中

                  .

比较式(1)(2),可以得到

                            ,

所以

                            .                       (3)

    根据第(1)点的分析,系统的总粒子数密度应该表示为

                       ,

由上式可以解得,在系统的温度T < Tc时,零能级粒子数密度n0随温度的变化应为

                          .                 (4)

上式就是教材中的式(18-147)。由上式可以看到,在T < Tc的范围内,随着温度的不断降低,零能级上的粒子数将不断增加,即粒子不断向零能级聚集,当温度达到绝对零度时,玻色粒子将全部处于零能级上,这就是玻色-爱因斯坦凝聚。

    4. 金属中的自由电子气体

    (1)  自由电子气体是金属中自由电子的简化模型,对此大家并不陌生,若用经典的玻尔兹曼统计处理,还可以说明金属的很多性质,如维德曼-弗兰兹定律等。

    但是,根据经典的玻尔兹曼统计和由此得出的能量均分定理,每个自由电子对金属热容的贡献都是3k/2,并且不随温度变化。金属中自由电子数与原子数相当,对金属热容应该有可观的贡献。而实验上却发现,除在极低温度下的情况外,金属中自由电子的热容基本上可以忽略。这一与实验相悖的结论,引起了人们的关注。

    (2)  在理解自由电子的热容的问题上,应注意掌握以下几点。

    a)  (18-150)向大家表明,在T®0时,电子都分布在从能量最低的能级e =  0到费米能级e =eF(0)之间的各个量子态上,而在能量大于费米能级的各个量子态,电子的平均数为零。

    b)  理论计算得到,金属中自由电子的定体热容可表示为

                      ,

其中e  F(0)的数值是相当大的,例如,铜的费米能级eF(0) =1.1´10-18 J。所以,在常温下,比值

             .

可见,在常温下,自由电子对热容的贡献在千分之几至百分之几的数量级。

    c)  对上述结果的定性说明是:随着温度的升高,处于低能态的电子,要跃迁到能量大于eF(0)的较高能态上去,由于eF(0) >> kT,它必须吸取很大的能量,依靠热激发难以实现。而那些处于e F(0)附近能态的电子受到热激发获得kT量级的能量,就可能发生这种跃迁。所以,只有在eF(0)附近、数量级为kT的能量范围内的能态的占据情况发生了变化,而其余绝大多数能态的占据情况并未改变。对热容有贡献的也就是这些处于eF(0)附近能态的极少数电子,而不是全部自由电子。

    5. 晶格振动¾¾声子以及元激发的概念

    (1)  元激发的概念是量子统计方法应用的新发展,目前已经用于固体物理的多方面的研究之中,成为凝聚态物理学的重要组成部分,是固体理论的核心内容。关于元激发的概念,读者应了解以下几点。

    a)  适用于处理具有强烈相互作用而又受到低能激发的多体系统中的热力知识题。

    b)  利用元激发的概念可以处理凝聚态物理学中多方面的问题,例如,晶体结构中的原子之间具有强烈的相互作用,在低温下都处于自身的平衡位置附近作微振动,适合用元激发来处理。这样的原子系统相当于,具有一定能量和动量的近独立的准粒子组成的理想气体系统,然后用统计物理学方法方便地加以处理。这是用元激发的概念处理有关问题的基本思路。

    c)  元激发的概念不能用于高能激发的情形,因为这时系统中的准粒子不再是近独立的,而是具有强烈相互作用的,准粒子不再有效;

    元激发概念目前还无法应用于非周期体系、低维体系和细小体系,有待进一步探讨和研究。

    (2)  声子就是上述元激发概念中的一种准粒子,是元激发概念在晶格振动问题上的应用实例。读者可以按照以下思路去理解这部分内容。

    a)  构成晶体的N个原子之间具有强烈相互作用,在低温下都处于各自的平衡位置附近作三维的微振动,正符合用元激发来处理问题的条件。

    b)  整个晶体共有3N个自由度,可以引入3N个坐标。系统的动能就是原子在各自的平衡位置附近作微振动的动能的总和;系统的势能就是原子之间的相互作用势能总和。系统的总能量就是这两部分能量的叠加,并可以用这3N个坐标表示出来。

    c)  在系统总能量的表达式中存在坐标交叉项的情况下,无法得到由单一坐标表示的简谐振子的振动方程,只有将交叉项变换成坐标的平方和的形式,才能得到这样的振动方程。所以必须对坐标进行线性变换,得到简正坐标。在简正坐标中,晶体中的原子在各自的平衡位置附近的微振动可以看为是3N个近独立的谐振子的振动,称为简正振动,或称简正模。其中3N个特角频率wi (i = 1, 2, , 3N)称为简正角频率。

    d)  利用元激发的概念引入准粒子¾¾声子。根据量子力学的结果,谐振子的能量为

                        

具有某一角频率wi并处于量子数为ni的激发态的简正模,相当于ni个能量为hwi的声子;不同简正模,具有不同的角频率,从而具有不同的能量和动量,对应于不同量子态的声子,而处于某量子态的声子数,决定于该量子态所对应的能级;如果简正模由某一能级降低一个能级,量子数减小1,相当于系统中减少了或消失了一个声子,相反,如果简正模由某一能级升高一个能级,量子数增加1,相当于系统中增加了或产生了一个声子。

    e)  固体中的格波波场可以看成由上述大量声子组成的理想气体系统,由于声子的自旋为零,属于玻色子,所以理想声子气体系统遵从玻色统计。然后利用玻色统计求得声子系统的内能,并由内能得到固体的热容,正如教材(下卷)中所叙述的那样。

       
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