[例题分析]

    例题18-1  理想气体系统的多方过程遵从方程式

                            ,

其中m是常量,称为多方指数。试推导上式,并求多方指数的表示式。

      假设理想气体系统沿多方过程发生微小的变化,则有

                            ,

                            ,

                            .

将以上三式代入热力学第一定律

                          ,

得到

                         .                     (1)

对理想气体物态方程微分,得

                          .                        (2)

由以上两式消去dT,整理后得

                  ,

将关系式代入上式,并用pV除之,上式可化为

                    ,

                        .                    (3)

若令

                            ,                         (4)

对式(3)积分,可得

                            ,                        (5)

上式就是多方过程方程式,多方指数m由式(4)所表示。

    例题18-2  某气体的物态方程可以表示为

                           ,

而内能为,其中CVU0以及上式中的b都是常量。试求该气体系统在绝热过程中由初态(p1, V1)到末态(p2, V2)外界所作的功。

      在绝热过程中,外界对系统所作的功都表现为系统内能的增加,所以

                       ,                  (1)

由物态方程得

                                  (2)

将式(2)代入式(1),得

                     .

  例题18-3  试求:

(1) 在温度为T时,平衡辐射场中光子气体的平均光子数密度;

(2) 在温度为1000 K的平衡辐射中和温度为2.7 K的宇宙背景辐射中光子的数密度。

     

    (1)  在§18-11中大家把空腔内的辐射场看作光子气体系统,光子是玻色子,达到平衡时遵从玻色分布。根据式(18-148),光子气体的分布为

                           .

考虑到左、右圆偏振两种状态,在体积为V的空腔内、角频率在w  ~ w +dw范围内光子的量子态数为

                         ,

在体积为V的空腔内、角频率在w  ~ w +dw范围内的光子数,为

                      ,

所以,在温度为T时光子气体的平均光子数密度为

             .

其中积分

                          ,

所以

                    .

    (2)  利用上面的结果,将温度值代入,就可以求得不同温度的辐射场的光子数密度。

    在温度为1000 K的平衡辐射中光子的数密度为

             ;

在温度为2.7 K的宇宙背景辐射中光子的数密度为

                   .

       
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